什么是分治算法?

问题描述：

设有n=2^k个运动员要进行网球循环赛。现要设计一个满足以下要求的比赛日程表：

(1)每个选手必须与其他n-1个选手各赛一次；
     (2)每个选手一天只能参赛一次；
     (3)循环赛在n-1天内结束。

请按此要求将比赛日程表设计成有n行和n-1列的一个表。在表中的第i行，第j列处填入第i个选手在第j天所遇到的选手。其中1≤i≤n，1≤j≤n-1。8个选手的比赛日程表如下图：

 算法思路：按分治策略，我们可以将所有的选手分为两半，则n个选手的比赛日程表可以通过n/2个选手的比赛日程表来决定。递归地用这种一分为二的策略对选手进行划分，直到只剩下两个选手时，比赛日程表的制定就变得很简单。这时只要让这两个选手进行比赛就可以了。如上图，所列出的正方形表是8个选手的比赛日程表。其中左上角与左下角的两小块分别为选手1至选手4和选手5至选手8前3天的比赛日程。据此，将左上角小块中的所有数字按其相对位置抄到右下角，又将左下角小块中的所有数字按其相对位置抄到右上角，这样我们就分别安排好了选手1至选手4和选手5至选手8在后4天的比赛日程。依此思想容易将这个比赛日程表推广到具有任意多个选手的情形。

算法步骤：

(1)用一个for循环输出日程表的第一行 for(int i=1;i<=N;i++) a[1][i] = i

(2)然后定义一个m值，m初始化为1，m用来控制每一次填充表格时i（i表示行）和j（j表示列）的起始填充位置。

(3)用一个for循环将问题分成几部分，对于k=3，n=8，将问题分成3大部分，第一部分为，根据已经填充的第一行，填写第二行，第二部分为，根据已经填充好的第一部分，填写第三四行，第三部分为，根据已经填充好的前四行，填写最后四行。for (ints=1;s<=k;s++)  N/=2;

(4)用一个for循环对③中提到的每一部分进行划分for(intt=1;t<=N;t++)对于第一部分，将其划分为四个小的单元，即对第二行进行如下划分

同理，对第二部分（即三四行），划分为两部分，第三部分同理。

(5)最后，根据以上for循环对整体的划分和分治法的思想，进行每一个单元格的填充。填充原则是：对角线填充

for(int i=m+1;i<=2*m;i++) //i控制行

for(int j=m+1;j<=2*m;j++)  //j控制列

{

a[i][j+(t-1)*m*2]= a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];/*右下角的值等于左上角的值 */

a[i][j+(t-1)*m*2-m] =a[i-m][j+(t-1)*m*2];/*左下角的值等于右上角的值 */

}

运行过程：

(1)由初始化的第一行填充第二行

(2)由s控制的第一部分填完。然后是s++，进行第二部分的填充

(3)最后是第三部分的填充

程序清单：

1. #include "stdafx.h"
2. #include <iostream>
3. #include <math.h>
4. using namespace std;
5. void Table(int k,int n,int **a);
6. void input(int &k);
7. void output(int **a,int n);
8. int main()
9. {
10. int k;
11. input(k);
12. int n=1;
13. //n=2k(k>=1)个选手参加比赛
14. for(int i=1; i<=k; i++)
15. n *= 2;
16. //根据n动态分配二维数组a
17. int **a = new int *[n+1];
18. for(int i=0;i<=n;i++)
19. {
20. a[i] = new int[n+1];
21. }
22. Table(k,n,a);
23. cout<<"循环赛事日程表为："<<endl;
24. output(a,n);
25. //释放空间
26. for(int i=0;i<=n;i++)
27. {
28. delete[] a[i];
29. }
30. delete[] a;
31. return 0;
32. }
33. void input(int &k)
34. {
35. cout<<"请输入k值："<<endl;
36. cin>>k;
37. }
38. void output(int **a,int n)
39. {
40. for(int i=1; i<=n; i++)
41. {
42. for(int j=1; j<=n; j++)
43. {
44. cout<<a[i][j]<<" ";
45. }
46. cout<<endl;
47. }
48. }
49. void Table(int k,int n,int **a)
50. {
51. for(int i=1; i<=n; i++)
52. a[1][i]=i;//设置日程表第一行
53. int m = 1;//每次填充时，起始填充位置
54. for(int s=1; s<=k; s++)
55. {
56. n /= 2;
57. for(int t=1; t<=n; t++)
58. {
59. for(int i=m+1; i<=2*m; i++)//控制行
60. {
61. for(int j=m+1; j<=2*m; j++)//控制列
62. {
63. a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];//右下角等于左上角的值
64. a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];//左下角等于右上角的值
65. }
66. }
67. }
68. m *= 2;
69. }
70. }

//2d11 分治法，循环赛事日程表
#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std; void Table(int k,int n,int **a);
void input(int &k);
void output(int **a,int n);int main()
{int k;input(k);int n=1;//n=2k(k>=1)个选手参加比赛for(int i=1; i<=k; i++)n *= 2;//根据n动态分配二维数组aint **a = new int *[n+1];for(int i=0;i<=n;i++){a[i] = new int[n+1];}Table(k,n,a);cout<<"循环赛事日程表为："<<endl;output(a,n);//释放空间for(int i=0;i<=n;i++){delete[] a[i];}delete[] a;return 0;
}void input(int &k)
{cout<<"请输入k值："<<endl;cin>>k;
}void output(int **a,int n)
{for(int i=1; i<=n; i++){for(int j=1; j<=n; j++){cout<<a[i][j]<<" ";}cout<<endl;}
}void Table(int k,int n,int **a)
{for(int i=1; i<=n; i++)a[1][i]=i;//设置日程表第一行int m = 1;//每次填充时，起始填充位置for(int s=1; s<=k; s++){n /= 2;for(int t=1; t<=n; t++){for(int i=m+1; i<=2*m; i++)//控制行{for(int j=m+1; j<=2*m; j++)//控制列{a[i][j+(t-1)*m*2] = a[i-m][j+(t-1)*m*2-m];//右下角等于左上角的值a[i][j+(t-1)*m*2-m] = a[i-m][j+(t-1)*m*2];//左下角等于右上角的值}}}m *= 2;}
}

程序运行结果：