【算法】skiplist——调表，一种随机化的类平衡二叉树

参考文章：http://wenku.baidu.com/link?url=nk9uFfTZuwVIU-yldWkOaiv4qFVAb8QZK2wV7JYzAxot2bCSn-nV9emUX8B2depBnOh66vRy28zQxZ5khGp6U7SQuS4qcuw0vVGmoDxUSiC

参考文章：http://dsqiu.iteye.com/blog/1705530

参考文章：http://www.cnblogs.com/xuqiang/archive/2011/05/22/2053516.html

参考文章：http://deepfuture.iteye.com/blog/954342

跳跃表（Skip List）是1987年才诞生的一种崭新的数据结构，它在进行查找、插入、删除等操作时的期望时间复杂度均为O(logn),有着近乎替代平衡树的本领。而且最重要的一点，就是它的编程复杂度较同类的AVL树，红黑树等要低得多，这使得其无论是在理解还是在推广性上，都有着十分明显的优势。

首先，我们来看一下跳跃表的结构

跳跃表由多条链构成（S0，S1，S2 ……，Sh），且满足如下三个条件：

每条链必须包含两个特殊元素：+∞ 和 -∞(其实不需要)
S0包含所有的元素，并且所有链中的元素按照升序排列。
每条链中的元素集合必须包含于序数较小的链的元素集合。
操作

一、查找
   目的：在跳跃表中查找一个元素x
   在跳跃表中查找一个元素x，按照如下几个步骤进行：
      1. 从最上层的链（Sh）的开头开始
      2. 假设当前位置为p，它向右指向的节点为q（p与q不一定相邻），且q的值为y。将y与x作比较
          (1) x=y 输出查询成功及相关信息
          (2) x>y 从p向右移动到q的位置
          (3) x<y 从p向下移动一格

3. 如果当前位置在最底层的链中（S0），且还要往下移动的话，则输出查询失败

二、插入
     目的：向跳跃表中插入一个元素x
     首先明确，向跳跃表中插入一个元素，相当于在表中插入一列从S0中某一位置出发向上的连续一段元素。有两个参数需要确定，即插入列的位置以及它的“高度”。
     关于插入的位置，我们先利用跳跃表的查找功能，找到比x小的最大的数y。根据跳跃表中所有链均是递增序列的原则，x必然就插在y的后面。
     而插入列的“高度”较前者来说显得更加重要，也更加难以确定。由于它的不确定性，使得不同的决策可能会导致截然不同的算法效率。为了使插入数据之后，保持该数据结构进行各种操作均为O(logn)复杂度的性质，我们引入随机化算法（Randomized Algorithms）。

我们定义一个随机决策模块，它的大致内容如下：

产生一个0到1的随机数r     r ← random()
如果r小于一个常数p，则执行方案A， if r<p then do A
否则，执行方案B         else do B
     初始时列高为1。插入元素时，不停地执行随机决策模块。如果要求执行的是A操作，则将列的高度加1，并且继续反复执行随机决策模块。直到第i次，模块要求执行的是B操作，我们结束决策，并向跳跃表中插入一个高度为i的列。

我们来看一个例子：
假设当前我们要插入元素“40”，且在执行了随机决策模块后得到高度为4
步骤一：找到表中比40小的最大的数，确定插入位置

步骤二：插入高度为4的列，并维护跳跃表的结构

三、删除

目的：从跳跃表中删除一个元素x
删除操作分为以下三个步骤：

在跳跃表中查找到这个元素的位置，如果未找到，则退出
将该元素所在整列从表中删除
将多余的“空链”删除

    我们来看一下跳跃表的相关复杂度：

       空间复杂度： O(n)       （期望）
       跳跃表高度： O(logn) （期望）

相关操作的时间复杂度：
      查找： O(logn)    （期望）
      插入： O(logn)    （期望）
      删除： O(logn)   （期望）

    之所以在每一项后面都加一个“期望”，是因为跳跃表的复杂度分析是基于概率论的。有可能会产生最坏情况，不过这种概率极其微小。

1.聊一聊跳表作者的其人其事

2. 言归正传，跳表简介

3. 跳表数据存储模型

4. 跳表的代码实现分析

5. 论文，代码下载及参考资料

<1>. 聊一聊作者的其人其事

跳表是由William Pugh发明。他在 Communications of the ACM June 1990, 33(6) 668-676 发表了Skip lists: a probabilistic alternative to balanced trees，在该论文中详细解释了跳表的数据结构和插入删除操作。

William Pugh同时还是FindBug（没有使用过，这是一款java的静态代码分析工具，直接对java 的字节码进行分析，能够找出java字节码中潜在很多错误。）作者之一。现在是University of Maryland, College Park（马里兰大学伯克分校，位于马里兰州，全美大学排名在五六十名左右的样子）大学的一名教授。他和他的学生所作的研究深入的影响了java语言中内存池实现。

又是一个计算机的天才！

<2>. 言归正传，跳表简介

这是跳表的作者，上面介绍的William Pugh给出的解释：

Skip lists are a data structure that can be used in place of balanced trees. Skip lists use probabilistic balancing rather than strictly enforced balancing and as a result the algorithms for insertion and deletion in skip lists are much simpler and significantly faster than equivalent algorithms for balanced trees.

跳表是平衡树的一种替代的数据结构，但是和红黑树不相同的是，跳表对于树的平衡的实现是基于一种随机化的算法的，这样也就是说跳表的插入和删除的工作是比较简单的。

下面来研究一下跳表的核心思想：

先从链表开始，如果是一个简单的链表，那么我们知道在链表中查找一个元素I的话，需要将整个链表遍历一次。

如果是说链表是排序的，并且节点中还存储了指向前面第二个节点的指针的话，那么在查找一个节点时，仅仅需要遍历N/2个节点即可。

这基本上就是跳表的核心思想，其实也是一种通过“空间来换取时间”的一个算法，通过在每个节点中增加了向前的指针，从而提升查找的效率。

<3>.跳表的数据存储模型

我们定义：

如果一个基点存在k个向前的指针的话，那么陈该节点是k层的节点。

一个跳表的层MaxLevel义为跳表中所有节点中最大的层数。

下面给出一个完整的跳表的图示：

那么我们该如何将该数据结构使用二进制存储呢？通过上面的跳表的很容易设计这样的数据结构：

定义每个节点类型：

// 这里仅仅是一个指针

typedef struct nodeStructure *node;

typedef struct nodeStructure

{

keyType key;// key值

valueType value;// value值

// 向前指针数组，根据该节点层数的

// 不同指向不同大小的数组

node forward[1];

};

上面的每个结构体对应着图中的每个节点，如果一个节点是一层的节点的话（如7，12等节点），那么对应的forward将指向一个只含一个元素的数组，以此类推。

定义跳表数据类型：

// 定义跳表数据类型

typedef struct listStructure{

int level; /* Maximum level of the list

(1 more than the number of levels in the list) */

struct nodeStructure * header; /* pointer to header */

} * list;

跳表数据类型中包含了维护跳表的必要信息，level表明跳表的层数，header如下所示：

定义辅助变量：

定义上图中的NIL变量：node NIL;

#define MaxNumberOfLevels 16

#define MaxLevel (MaxNumberOfLevels-1)

定义辅助方法：

// newNodeOfLevel生成一个nodeStructure结构体，同时生成l个node *数组指针

#define newNodeOfLevel(l) (node)malloc(sizeof(struct nodeStructure)+(l)*sizeof(node *))

好的基本的数据结构定义已经完成，接下来来分析对于跳表的一个操作。

<4>. 跳表的代码实现分析

4.1 初始化

初始化的过程很简单，仅仅是生成下图中红线区域内的部分，也就是跳表的基础结构：

list newList()

{

list l;

int i;

// 申请list类型大小的内存

l = (list)malloc(sizeof(struct listStructure));

// 设置跳表的层level，初始的层为0层（数组从0开始）

l->level = 0;

// 生成header部分

l->header = newNodeOfLevel(MaxNumberOfLevels);

// 将header的forward数组清空

for(i=0;i<MaxNumberOfLevels;i++) l->header->forward[i] = NIL;

return(l);

};

4.2 插入操作

由于跳表数据结构整体上是有序的，所以在插入时，需要首先查找到合适的位置，然后就是修改指针（和链表中操作类似），然后更新跳表的level变量。

boolean insert(l,key,value)

{

// 使用了update数组

node update[MaxNumberOfLevels];

p = l->header;

k = l->level;

/*******************1步*********************/

do {

// 查找插入位置

while (q = p->forward[k], q->key < key)

p = q;

// 设置update数组

update[k] = p;

} while(--k>=0);// 对于每一层进行遍历

// 这里已经查找到了合适的位置，并且update数组已经

// 填充好了元素

if (q->key == key)

{

q->value = value;

return(false);

};

// 随机生成一个层数

k = randomLevel();

if (k>l->level)

{

// 如果新生成的层数比跳表的层数大的话

// 增加整个跳表的层数

k = ++l->level;

// 在update数组中将新添加的层指向l->header

update[k] = l->header;

};

/*******************2步*********************/

// 生成层数个节点数目

q = newNodeOfLevel(k);

q->key = key;

q->value = value;

// 更新两个指针域

{

p = update[k];

q->forward[k] = p->forward[k];

p->forward[k] = q;

} while(--k>=0);

// 如果程序运行到这里，程序已经插入了该节点

return(true);

}

4.3 删除某个节点

和插入是相同的，首先查找需要删除的节点，如果找到了该节点的话，那么只需要更新指针域，如果跳表的level需要更新的话，进行更新。

boolean delete(l,key)

{

// 生成一个辅助数组update

node update[MaxNumberOfLevels];

p = l->header;

k = m = l->level;

// 这里和查找部分类似，最终update中包含的是：

// 指向该节点对应层的前驱节点

{

while (q = p->forward[k], q->key < key)

p = q;

update[k] = p;

} while(--k>=0);

// 如果找到了该节点，才进行删除的动作

if (q->key == key)

{

// 指针运算

for(k=0; k<=m && (p=update[k])->forward[k] == q; k++)

// 这里可能修改l->header->forward数组的值的

p->forward[k] = q->forward[k];

// 释放实际内存

free(q);

// 如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的

// 层数level

while( l->header->forward[m] == NIL && m > 0 )

m--;

l->level = m;

return(true);

}

else

// 没有找到该节点，不进行删除动作

return(false);

}

4.4 查找

查找操作其实已经在插入和删除过程中包含，比较简单，可以参考源代码。

<5>. 论文，代码下载及参考资料

SkipList论文

/Files/xuqiang/skipLists.rar

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增加跳表c#实现代码 2011-5-29下午

上面给出的数据结构的模型是直接按照跳表的模型得到的，另外还有一种数据结构的模型：

跳表节点类型，每个跳表类型中仅仅存储了左侧的节点和下面的节点：

我们现在来看对于这种模型的操作代码：

1. 初始化完成了如下的操作：

2. 插入操作：和上面介绍的插入操作是类似的，首先查找到插入的位置，生成update数组，然后随机生成一个level，然后修改指针。

3. 删除操作：和上面介绍的删除操作是类似的，查找到需要删除的节点，如果查找不到，抛出异常，如果查找到的需要删除的节点的话，修改指针，释放删除节点的内存。

Skip List（跳跃表）原理详解与实现

本文内容框架：

§1 Skip List 介绍

§2 Skip List 定义以及构造步骤

§3 Skip List 完整实现

§4 Skip List 概率分析

§5 小结

§1 Skip List 介绍

Skip List是一种随机化的数据结构，基于并联的链表，其效率可比拟于二叉查找树（对于大多数操作需要O(log n)平均时间）。基本上，跳跃列表是对有序的链表增加上附加的前进链接，增加是以随机化的方式进行的，所以在列表中的查找可以快速的跳过部分列表(因此得名)。所有操作都以对数随机化的时间进行。Skip List可以很好解决有序链表查找特定值的困难。

§2 Skip List 定义以及构造步骤

Skip List定义

像下面这样（初中物理经常这样用，这里我也盗用下）：

一个跳表，应该具有以下特征：

一个跳表应该有几个层（level）组成；
跳表的第一层包含所有的元素；
每一层都是一个有序的链表；
如果元素x出现在第i层，则所有比i小的层都包含x；
第i层的元素通过一个down指针指向下一层拥有相同值的元素；
在每一层中，-1和1两个元素都出现(分别表示INT_MIN和INT_MAX)；
Top指针指向最高层的第一个元素。

构建有序链表

的一个跳跃表如下：

Skip List构造步骤：

1、给定一个有序的链表。

2、选择连表中最大和最小的元素，然后从其他元素中按照一定算法（随机）随即选出一些元素，将这些元素组成有序链表。这个新的链表称为一层，原链表称为其下一层。
3、为刚选出的每个元素添加一个指针域，这个指针指向下一层中值同自己相等的元素。Top指针指向该层首元素
4、重复2、3步，直到不再能选择出除最大最小元素以外的元素。

§3 Skip List 完整实现

下面来定义跳表的数据结构（基于C）

首先是每个节点的数据结构

C代码

typedef struct nodeStructure
{
int key;
int value;
struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;

跳表的结构如下

C代码

typedef struct skiplist
{
int level;
nodeStructure *header;
}skiplist;

下面是跳表的基本操作

首先是节点的创建

C代码

nodeStructure* createNode(int level,int key,int value)
{
nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc(sizeof(nodeStructure)+level*sizeof(nodeStructure*));
ns->key=key;
ns->value=value;
return ns;
}

列表的初始化

列表的初始化需要初始化头部，并使头部每层（根据事先定义的MAX_LEVEL）指向末尾（NULL）。

C代码

skiplist* createSkiplist()
{
skiplist *sl=(skiplist *)malloc(sizeof(skiplist));
sl->level=0;
sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);
for(int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)
{
sl->header->forward[i]=NULL;
}
return sl;
}

插入元素

插入元素的时候元素所占有的层数完全是随机的，通过随机算法产生

C代码

int randomLevel()
{
int k=1;
while (rand()%2)
k++;
k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;
return k;
}

跳表的插入需要三个步骤，第一步需要查找到在每层待插入位置，然后需要随机产生一个层数，最后就是从高层至下插入，插入时算法和普通链表的插入完全相同。

C代码

bool insert(skiplist *sl,int key,int value)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p, *q = NULL;
p=sl->header;
int k=sl->level;
//从最高层往下查找需要插入的位置
//填充update
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
//不能插入相同的key
if(q&&q->key==key)
{
return false;
}
//产生一个随机层数K
//新建一个待插入节点q
//一层一层插入
k=randomLevel();
//更新跳表的level
if(k>(sl->level))
{
for(int i=sl->level; i < k; i++){
update[i] = sl->header;
}
sl->level=k;
}
q=createNode(k,key,value);
//逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样
for(int i=0;i<k;i++)
{
q->forward[i]=update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i]=q;
}
return true;
}

红色区域为辅助数组update的内容

删除节点

删除节点操作和插入差不多，找到每层需要删除的位置，删除时和操作普通链表完全一样。不过需要注意的是，如果该节点的level是最大的，则需要更新跳表的level。

C代码

bool deleteSL(skiplist *sl,int key)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
//从最高层开始搜
int k=sl->level;
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
if(q&&q->key==key)
{
//逐层删除，和普通列表删除一样
for(int i=0; i<sl->level; i++){
if(update[i]->forward[i]==q){
update[i]->forward[i]=q->forward[i];
}
}
free(q);
//如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
for(int i=sl->level-1; i >= 0; i--){
if(sl->header->forward[i]==NULL){
sl->level--;
}
}
return true;
}
else
return false;
}

查找

跳表的优点就是查找比普通链表快，当然查找操作已经包含在在插入和删除过程，实现起来比较简单。

搜索key=14的示意图

C代码

int search(skiplist *sl,int key)
{
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
//从最高层开始搜
int k=sl->level;
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))
{
if(q->key==key)
{
return q->value;
}
p=q;
}
}
return NULL;
}

完整代码如下：

C代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define MAX_LEVEL 10 //最大层数
//节点
typedef struct nodeStructure
{
int key;
int value;
struct nodeStructure *forward[1];
}nodeStructure;
//跳表
typedef struct skiplist
{
int level;
nodeStructure *header;
}skiplist;
//创建节点
nodeStructure* createNode(int level,int key,int value)
{
nodeStructure *ns=(nodeStructure *)malloc(sizeof(nodeStructure)+level*sizeof(nodeStructure*));
ns->key=key;
ns->value=value;
return ns;
}
//初始化跳表
skiplist* createSkiplist()
{
skiplist *sl=(skiplist *)malloc(sizeof(skiplist));
sl->level=0;
sl->header=createNode(MAX_LEVEL-1,0,0);
for(int i=0;i<MAX_LEVEL;i++)
{
sl->header->forward[i]=NULL;
}
return sl;
}
//随机产生层数
int randomLevel()
{
int k=1;
while (rand()%2)
k++;
k=(k<MAX_LEVEL)?k:MAX_LEVEL;
return k;
}
//插入节点
bool insert(skiplist *sl,int key,int value)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p, *q = NULL;
p=sl->header;
int k=sl->level;
//从最高层往下查找需要插入的位置
//填充update
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
//不能插入相同的key
if(q&&q->key==key)
{
return false;
}
//产生一个随机层数K
//新建一个待插入节点q
//一层一层插入
k=randomLevel();
//更新跳表的level
if(k>(sl->level))
{
for(int i=sl->level; i < k; i++){
update[i] = sl->header;
}
sl->level=k;
}
q=createNode(k,key,value);
//逐层更新节点的指针，和普通列表插入一样
for(int i=0;i<k;i++)
{
q->forward[i]=update[i]->forward[i];
update[i]->forward[i]=q;
}
return true;
}
//搜索指定key的value
int search(skiplist *sl,int key)
{
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
//从最高层开始搜
int k=sl->level;
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<=key))
{
if(q->key == key)
{
return q->value;
}
p=q;
}
}
return NULL;
}
//删除指定的key
bool deleteSL(skiplist *sl,int key)
{
nodeStructure *update[MAX_LEVEL];
nodeStructure *p,*q=NULL;
p=sl->header;
//从最高层开始搜
int k=sl->level;
for(int i=k-1; i >= 0; i--){
while((q=p->forward[i])&&(q->key<key))
{
p=q;
}
update[i]=p;
}
if(q&&q->key==key)
{
//逐层删除，和普通列表删除一样
for(int i=0; i<sl->level; i++){
if(update[i]->forward[i]==q){
update[i]->forward[i]=q->forward[i];
}
}
free(q);
//如果删除的是最大层的节点，那么需要重新维护跳表的
for(int i=sl->level - 1; i >= 0; i--){
if(sl->header->forward[i]==NULL){
sl->level--;
}
}
return true;
}
else
return false;
}
void printSL(skiplist *sl)
{
//从最高层开始打印
nodeStructure *p,*q=NULL;
//从最高层开始搜
int k=sl->level;
for(int i=k-1; i >= 0; i--)
{
p=sl->header;
while(q=p->forward[i])
{
printf("%d -> ",p->value);
p=q;
}
printf("\n");
}
printf("\n");
}
int main()
{
skiplist *sl=createSkiplist();
for(int i=1;i<=19;i++)
{
insert(sl,i,i*2);
}
printSL(sl);
//搜索
int i=search(sl,4);
printf("i=%d\n",i);
//删除
bool b=deleteSL(sl,4);
if(b)
printf("删除成功\n");
printSL(sl);
system("pause");
return 0;
}

§4 Skip List 概率分析

§5 小结

本篇博文已经详细讲解了Skip List数据结构的所有内容，应该可以有一个深入的了解。如果你有任何建议或者批评和补充，请留言指出，不胜感激，更多参考请移步互联网。

参考：

①Skip List: http://www.cs.auckland.ac.nz/software/AlgAnim/niemann/s_skl.htm

②Songeliu: http://www.spongeliu.com/63.html

③Shi Kai Lun ：http://yilee.info/skip-list.html

④Michael T. Goodrich Roberto Tamassia Algorithm Design Foundations, Analysis, and Internet Examples

⑤http://epaperpress.com/sortsearch/skl.html