基于MatLab的PCA降维人脸识别系统（超详细解说）

                                （一）基于MatLab的PCA降维人脸识别系统

本次博客内容将详细介绍如何使用MatLab，进行PCA降维来识别人脸。内容参考张铮《精通MatLab数字图像处理与识别》。书中有些内容应该是出现了打印错误，再次对部分算法进行改正，补充了书中没有的函数，此次博客内容仅适用于新手入门。部分背景，介绍描述性语言都省略，想看详细的内容，请看书籍内容。
1. 实验使用器材
MatLab、ORL人脸库
其中ORL人脸库来源：http://www.cl.cam.ac.uk/research/dtg/attarchive/facedatabase.html :
2. ORL人脸库简单介绍
数据库中一共有400张人脸图（40人，每人10张，大小 112*92）
数据库中光照姿势等变化都不大

实验结果
采用维度 C gamma 识别率
20 inf 1 12,5%
100 inf 1 26.5%
200 inf 1 53.0%
200 128 0.0078125 77.5%
实验得到结果与书中得到结果不相符。

4.理论介绍

（1）PCA降维
如果将一个图像的每一个像素点看成一个特征，我们将得到一幅图像会具有 112*92 = 10304个特征点，在这里可以看成是10304维。自然而然，如此庞大的维度计算量是相当的大，而且在如此高维度下会出现维度灾难，也就是高维度会使得识别率逐渐降低。所以我们要将图像进行降维到一定的维度。接下来将说到如何进行降维。
上一段中提到了一幅图像将拥有‘10304个特征点‘，也就是我们可以换成是1 * 10304 的矩阵，1表示一张图，10304表示112 * 92 。例如2 * 10304 表示两张 112 * 92的图像。此时将用到函数： ReadFaces

function [imgRow,imgCol,FaceContainer,faceLabel] = ReadFaces(nFacePerPerson,nPerson,bTest)
%读入ORL人脸库的指定数目的人脸前五张（训练）
%输入：nFaceperperson:每个人需要读入的样本数
% nPerson:需要读入的人数，默认为全部40人
% bTest:bool型参数。默认为0(读入训练样本前五张)，1表示后五张
%输出：FaceContainer:人脸容器，nperson * 10304 的2维矩阵，每行对应一个人脸向量
if nargin == 0
nFacePerPerson = 5;
nPerson = 40;
bTest = 0;
elseif nargin < 3
bTest = 0;
end
img = imread(‘DATA/ORL/S1/1.pgm’);
[imgRow,imgCol] = size(img);

FaceContainer = zeros(nFacePerPerson * nPerson,imgRow*imgCol);
faceLabel = zeros(nFacePerPerson*nPerson,1);

%读入训练样本
for i = 1:nPerson
i1 = mod(i,10);
i0 = char(i/10);
strPath = ‘Data/ORL/S’;
if (i0 ~= 0)
strPath = strcat(strPath,’0’+i0);
end
strPath = strcat(strPath,’0’+i1);
strPath = strcat(strPath,’/’);
tempStrPath = strPath;
for j = 1:nFacePerPerson
strPath = tempStrPath;
if bTest == 0 %读入训练数据
strPath = strcat(strPath,’0’+j);
else
strPath = strcat(strPath,num2str(5+j));
end

    strPath = strcat(strPath,'.pgm');img = imread(strPath);FaceContainer((i-1)*nFacePerPerson + j,:) = img(:);faceLabel((i-1)*nFacePerPerson+j) = i;
end %j

end %i

save(‘Mat/FaceMate.mat’,’FaceContainer’)

通过该函数能够得到一个人脸的容器：其中规定了当bTest = 0 时，将训练样本。当bTest = 1 时开始测试样本。

为什么要训练样本？得到的这个人脸的容器有什么用？
接下来利用得到的人脸容器FaceContainer进行PCA降维。
人脸容器中具有 200 * 10304 矩阵，每一行为人脸信息。其中降维，我在线性代数中理解为得到相应的单位特征向量，这些单位特征向量就是维度。具体可以学习线性代数中关于空间变换的知识。
将空间中的大量的点，在一定维度下进行投影（可以理解为在一定维度在进行表示）：可以得到一个推广公式
x = m + a1*e1+a2*e2+a3*e3……. x为样本，m为均值，e表示的就是单位特征向量。
为什么会得到这样的一个推广公式？（第一次写博客，公式推导省略一下，其实原理很简单）
虽然多维度的点能在一定维度下表示了，但是怎么确定直线e的方向来使得平方误差E最小呢。这里抛出了直线e的方向和平方误差。何为直线e的方向？当在1维时，直线e就一根，它可以指着任何方向。当在2维时，直线e维两个互相垂直，也可以朝着任意方向，所以推广以后，直线e我们只知道了它是相互垂直，但是具体的方向我们是可以任意确定了。平方误差E和直线e方向有什么关系呢？e的方向将会决定e向量的值，E中会使用到e的运算。使用平方误差的意义，E = （ ||(m+a1 * e)-x1 || +||(m+a2 * e)-x2 || +||(m+a3 * e)-x3 || +….. ）^2就是将降维（投影）后的点与实际样本点的差值平方。如果差值越小，说明这些方向上的e能够尽量更好的表示这些点。于是打开平方（这里说的打开并不是直接这样打开，E表示的时候使用累加符号表示的）在运算过程中出现了 S 散布矩阵。并且求解这个最小值变为了带有约束条件的求解问题，使用拉格朗日乘数法。就得到了S * e = namda * e ,namda为特征值，e为特征向量，S取最大，E将最小，则在n维下，依次取最大的特征值即可。所以，降维至n维，就是取n个特征向量运算得到a = e*(x-m)
在这里要说一下，可能会有读者看不明白，S矩阵如何计算得出，S矩阵的得出为什么与取最大特征值对应的特征向量有关？请在网上搜索，主成分分析的理论基础，再结合本文，应该能解决您的疑惑。
解决了一般的PCA降维理论以后可以进行实验了，但是，再运算时发现，维度太大，内存耗尽，为什么呢。原因出在了S矩阵上，所以这里引出了快速PCA降维，原理很简单，就是对S * e = namda * e进行简单的一些变换。下面使用函数 fastPCA
function [pcaA,V] = fastPCA(A,k)
%快速PCA
%输入： A:样本矩阵
% K:降维至k维
%输出： pcaA：降维后，由特征向量组成的特征矩阵，每行一个样本，列数为维度k
% V：主成分向量
if nargin == 0
display(‘参数不足’)
else
[r,c] = size(A);
meanVec = mean(A);
%计算协方差矩阵的转置
Z = (A - repmat(meanVec,r,1));
covMatT = Z* Z’;
%计算convMatT的前K个特征值和特征向量
[V,D]=eigs(covMatT,k);
%得到协方差矩阵的特征向量
V = Z’ * V;
%特征向量转为单位向量
for i = 1:k
V(:,i) = V(:,i) / norm(V(:,i));
end
pcaA = Z*V;
%保存变换矩阵V和变换原点meanVec
save(‘Mat/PCA.mat’,’V’,’meanVec’);
end
其中A，就是人脸容器
留下问题，为什么要训练样本？

开始准备操作

接下来就主成分脸进行可视化。
其中visualize_pc,再PCA_main函数后面，注意一下，别复制错了

function PCA_main(k)
%ORL 人脸采集的主成分分析
%输入k : 降维至k
global imgRow;
global imgCol;
nPerson = 40;
nFacePerPerson = 5;
disp(‘读入人脸数据。。。。’);
[imgRow,imgCol,FaceContainer,faceLabel] = ReadFaces(nFacePerPerson,nPerson);
disp(‘………………’)
nFaces = size(FaceContainer,1);%样本人脸数目
disp(‘PCA降维’);
% LowDimFace nPerson*nFacePerPerson行，k列，每行代表一张主成分脸，每个脸k个维特征
% W是分离变换矩阵
[LowDimFace,W] = fastPCA(FaceContainer,k);
visualize_pc(W);%显示主成分脸
save(‘Mat/LowDimFace.mat’,’LowDimFace’);
disp(‘计算结束’);

function visualize_pc(E)
% 显示主成分分量（主成分脸，即变换空间中的基向量）
%输入E 每一列是主成分分量

[size1,size2] = size(E);
global imgRow;
global imgCol;
row = imgRow;
col = imgCol;
if size2 ~=20
error(‘只用于显示20个主成分’);
end
figure
img = zeros(row,col);
for ii = 1:20
img(:) = E(:,ii);
subplot(4,5,ii);
imshow(img,[]);
end

支持向量机SVM
使用SVM，本来它时一个二分器，此时我们用一定的策略来解决多分类问题。在这里，使用一对一的投票策略
这里引入了MatLab自带的函数： SVMStruct函数、svmclassify函数
数据的规格化
为什么要进行数据的规格化。ABC三人：A: 1.8m 70kg B:1.6m,70 kg C:1.8m,60,由于数据没有规格化，原本身高差距与体重之间的数值差异会影响到分类。所以此处引出了规格化的函数对降维后的数据进行规格化：scaling

function [SVFM,lowVec,upVec] = scaling(VecFeaMat,bTest,lRealBVec,uRealBVec)
%训练样本时，输入上下限无意义，将得到上下限，并且得到训练样本的规格化向量；测试样本时提供上下限可以得到测试样本规格化向量
% 输入 VecFeaMat – 需要规格化的m*n矩阵，其中每行一个特征向量，列数为维度
% bTest – 1：说明此时是对测试样本进行规格化，此时必须提供l,u，此2值是在训练样本规格化时得到
% – 0：默认值，对训练样本进行规格化
% lRealBVec – n维向量，对训练样本规格化时得到的各维的实际下限lowVec
% uRealBVec – n维向量，对训练样本规格化时得到的各维的实际上限upVec
%输出 SVFM – VecFeaMat的规格化版本
% lowVec – 各维特征的下限（只在对训练样本规格化是有意义，bTest = 0）
% upVec – 各维特征的下限（只在对训练样本规格化是有意义，bTest = 0）
if nargin < 2
bTest = 0;
lRealBVec=-1;
uRealBVec= 1;
end
%缩放目标范围[-1,1]
lTargB = -1;
uTargB = 1;
[m,n] = size(VecFeaMat);
SVFM = zeros(m,n);
if bTest
if nargin < 4
error(‘测试样本时需要提供uRealB,lRealB’);
end
if nargout > 1
error(‘当测试样本时，只提供一个输出，SVFM’)
end
for iCol = 1:n
if uRealBVec(iCol) == lRealBVec(iCol)
SVFM(:,iCol) = uRealBVec(iCol);
SVFM(:,iCol) = 0;
else
SVFM(:,iCol) = lTargB+(VecFeaMat(:,iCol)-lRealBVec(iCol))/(uRealBVec(iCol)-lRealBVec(iCol))*(uTargB-lTargB);
end
end
else %训练样本
upVec = zeros(1,n);
lowVec = zeros(1,n);
for iCol = 1:n
lowVec(iCol) = min(VecFeaMat(:,iCol));
upVec(iCol) = max(VecFeaMat(:,iCol));
if lowVec(iCol)==upVec(iCol)
SVMF(:,iCol) = upVec(iCol);
SVMF(:,iCol) = 0;
else
SVFM(:,iCol) = lTargB+(VecFeaMat(:,iCol)-lowVec(iCol))/(upVec(iCol)-lowVec(iCol))*(uTargB-lTargB);
end
end
end

确定使用核函数
核函数将影响到训练结果，直到影响分类。具体原因，有机会再说。这里使用径向基核函数
function K = kfun_rbf(U,V,gamma)
%RBF 径向基核函数
[m1,n1] = size(U);
[m2,n2] = size(V);
K = zeros(m1,m2);

for ii = 1:m1
for jj = 1:m2
K(ii,jj) = exp(-gamma*norm(U(ii,:)-V(jj,:))^2);
end
end

训练
CASVMStruct{ii}{jj}，其中表示为

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