这里只是记录一下，非常推荐马同学高等数学,文末有原文.点击这里看里面的例一应该是理解贝叶斯公式最好的例子
,如果你稍微有一些基础，我觉得文末第二个链接中的例一更加适合你

代数推导

1. 贝叶斯公式

是根据条件概率推导的
P(A|B)=P(AB)P(B)P(B|A)=P(AB)P(A)P(A|B)=P(AB)P(B)P(B|A)=P(AB)P(A) P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \qquad P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}
所以推导可以得到Bayes公式：

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}
通常会把P(B)看成归一化系数 ηη\eta;

P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)=ηP(B|A)P(A)η=P(B)−1=1∑AP(B|A)P(A)P(A|B)=P(B|A)P(A)P(B)=ηP(B|A)P(A)η=P(B)−1=1∑AP(B|A)P(A)

P(A|B) = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} = \eta P(B|A)P(A) \\\eta = P(B)^{-1} = \frac{1}{\sum_{A}P(B|A)P(A)}
这里有什么过程不懂可以看文末的知识补充

A一般是某种状态，B一般是某种观测值
1.P(A)先验概率1.P(A)先验概率 1. P(A)先验概率（Prior probability）
2.P(A|B)后验概率2.P(A|B)后验概率 2. P(A|B)后验概率（Posterior/causal probability)
3.P(B|A)P(B)可能性函数（Likelyhood）3.P(B|A)P(B)可能性函数（Likelyhood） 3. \frac{P(B|A)}{P(B)}可能性函数（Likelyhood）

2. 递归贝叶斯

先简单推导一下三次变量:

P(x|y,z)=P(y|x,z)P(x|z)P(y|z)=P(z|x,y)P(x|y)P(z|y)P(x|y,z)=P(y|x,z)P(x|z)P(y|z)=P(z|x,y)P(x|y)P(z|y)

P(x|y,z) = \frac{P(y|x,z)\, P(x|z)}{P(y|z)} \\\qquad \quad= \frac{P(z|x,y)\, P(x|y)}{P(z|y)}
这里y,z是可以互换的
如果y,z符合Markov属性，那么还可以推导如下：

P(x|y,z)=P(y|x)P(x|z)P(y|z)=P(y|x)P(x|z)P(y|open)P(open|z)+P(y|open⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯)P(open⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯|z)P(x|y,z)=P(y|x)P(x|z)P(y|z)=P(y|x)P(x|z)P(y|open)P(open|z)+P(y|open¯)P(open¯|z)

P(x|y,z) = \frac{P(y|x)\, P(x|z)}{P(y|z)} \\ \qquad \qquad = \frac{P(y|x)\, P(x|z)}{P(y|open)P(open|z)+P(y|\overline{open})P(\overline{open}|z)}
P(x|z1…zn)P(x|z1…zn)P(x|z_{1} \dots z_{n})？
把Z1，…..，Zn看成一个整体,再根据马尔科夫条件，在x已经知道的情况下，Zn同{Z1,…,Zn-1}无关，所以

P(x|z_{1} \dots z_{n}) = \frac{P(z_{n}|x,z_{1},\dots,z_{n-1})\, P(x|z_{1},\dots,z_{n-1})}{P(z_{n}|z_{1},\dots,z_{n-1})} \\= \frac{P(z_{n}|x)\, P(x|z_{1},\dots,z_{n-1})}{P(z_{n}|z_{1},\dots,z_{n-1})}
所以可以得到递归贝叶斯公式

P(x|z_{1} \dots z_{n})= \frac{P(z_{n}|x)\, P(x|z_{1},\dots,z_{n-1})}{P(z_{n}|z_{1},\dots,z_{n-1})} \\= \eta_{n}\,P(z_{n}|x)\, P(x|z_{1},\dots,z_{n-1}) \\ \qquad \qquad \; \; \;= \eta_{n}\,P(z_{n}|x)\,\eta_{n-1}\,P(z_{n-1}|x)P(x|z_{1},\dots,z_{n-2}) \\ = \bf{\eta_{1} \dots \eta_{n}\prod_{i=1\dots n}\,P(z_{i}|x)\,P(x)}

3. 贝叶斯滤波

直观理解

知识补充

连续情况下：

P(x|μ)=∫P(x|μ,x′)P(x′)dx′P(x|μ)=∫P(x|μ,x′)P(x′)dx′

P(x|\mu) = \int\,P(x|\mu,x')P(x')dx'
连续情况下:
P(x|μ)=∑P(x|μ,x′)P(x′)P(x|μ)=∑P(x|μ,x′)P(x′)

P(x|\mu) = \sum P(x|\mu,x')P(x')

参考

https://www.matongxue.com/madocs/301/
https://www.cnblogs.com/ycwang16/p/5995702.html
https://blog.csdn.net/qq_30159351/article/details/53395515

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