一、插入排序的实现

1.什么是插入排序呢

插入排序的工作方式像许多人排序一手扑克牌。开始时，我们的左手为空并且桌子上的牌面向下。然后，我们每次从桌子上拿走一张牌并将它插入左手中正确的位置。为了找到一张牌的正确位置，我们从右到左将它与已在手中的每张牌进行比较。拿在左手上的牌总是排序好的，原来这些牌是桌子上牌堆中顶部的牌

2.具体步骤

第一轮：从第二位置的 6 开始比较，比前面 7 小，交换位置。

第二轮：第三位置的 9 比前一位置的 7 大，无需交换位置。

第三轮：第四位置的 3 比前一位置的 9 小交换位置，依次往前比较。

第四轮：第五位置的 1 比前一位置的 9 小，交换位置，再依次往前比较。

…

就这样依次比较到最后一个元素。

3.使用循环不变式证明算法的正确性

循环不变式的概念：
简单了说就是每次循环都有某种性质，且该性质一直保持不变，直到循环结束。

循环不变式的三个性质：

1.初始化：循环的第一次迭代之前，它为真。
2.保持：如果循环的某次迭代之前它为真，那么下次迭代之前它仍为真。
3.终止：在循环终止时，不变式为我们提供一个有用的性质，该性质有助于证明算法时正确的。

对于插入排序，如何证明这三个性质

初始化：插入排序初始只有1个元素arr[0]，所以该子数组是有序的
保持：每次插入元素到子数组中，该子数组一直保持有序性
终止：循环的终止条件是遍历到了最后一个将要插入的元素，此时插入过后，子数组已经拥有了原数组的所有数据，且保持有序

因此算法正确。

4.插入排序代码实现

import java.util.Arrays;/*** @author:抱着鱼睡觉的喵喵* @date:2021/2/23* @description: 插入排序*/
public class InsertSort {public static void main(String[] args) {int arr[] = {9,1,4,2,8};InsertSort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}public static void InsertSort(int[] arr) {for (int i = 1; i < arr.length; i++) {int insertVal = arr[i];int insertIndex =i - 1;while (insertIndex >= 0 && insertVal < arr[insertIndex]) {arr[insertIndex + 1] = arr[insertIndex];insertIndex--;}arr[insertIndex + 1] = insertVal;}}
}

5.插入排序算法的分析

1.时间复杂度：最坏的情况就是原数组的数据是降序排列，最好的情况当然就是已经有序(升序）
最坏的情况：O(n^2)
最好的情况：O(n)
所以平均时间复杂度位O(n^2)

2.空间复杂度：O(1)

3.插入排序是稳定的；适用场景：数据规模较小

二、插入排序的优化

于插入排序，如果比较操作的代价比交换操作大的话，可以采用二分查找法来减少比较操作的次数。

1.二分查找算法概述(折半查找法）：

二分查找的基本思想是将n个元素分成大致相等的两部分，取a[n/2]与x做比较，如果x=a[n/2],则找到x,算法中止；如果x<a[n/2],则只要在数组a的左半部分继续搜索x,如果x>a[n/2],则只要在数组a的右半部搜索x.

2.代码实现


import java.util.Arrays;/*** @author:抱着鱼睡觉的喵喵* @date:2021/3/4* @description: 使用二分法优化直接插入*/
public class DichotomizeInsertSort {public static void main(String[] args) {int arr[] = {2, 5, 8, -11, 6,-19, 7, 8};InsertSort(arr);System.out.println(Arrays.toString(arr));}public static void InsertSort(int arr[]) {int insertValue,mid = 0;int i,j,insertIndex;for (int k = 1; k < arr.length; k++) {i = 0;insertIndex  = k;j = k - 1;insertValue = arr[k];while (i <= j) {mid = (i + j) / 2;if (arr[mid] < insertValue) {i = mid + 1;} else {j = mid - 1;}}for (int s = insertIndex - 1; s >= i; s--) {arr[s + 1] = arr[s];}arr[i] = insertValue;}}}

3.复杂度分析
时间复杂度：O(n^2)

二分插入排序只是减少了比较的次数，而数据的移动次数还是不变的；
本质上来说：直接插入排序和二分插入排序性能上差不了多少

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