学习笔记第二节：最大权闭合图
关于
这个算法是在接触太空飞行计划问题时接触到的。为了解决这道问题，我在网上查阅了相当多的资料，在这里整理给大家。题目点击打开链接https://www.luogu.org/problemnew/show/P2762
开始
闭合图的含义，就是在一张图中，我们选取一些点构成集合，记为V，且集合中的出边所指向的终点也在V中，我们就称V为闭合图。也就是说，一张图中的点，他们的儿子也在这张图中。
像上面这张图，图中的闭合图就有（1,2,3,4），（1,2,3,4,5），（2,3），（2,3,5），（2,3,4），（2,3,4,5），（3），（3,5）。
对没错，而我们也可以把太空飞行计划问题转化为求最大权闭合子图的问题，正如给上图的每个点加上一个权值，如果是实验则为正，仪器则为负。如下图。
样例如上，那么我们从含义来找答案，闭合图是不是一定要满足儿子也在这个集合里面，就像题目中实验和仪器的关系一样。那么我们就可以马上建出上面这张图，明显的，最大权闭合图的值就是10+25-5-6-7=17；
很多人会说，你这么说谁都会，但是怎么用网路流来实现呢？
我们从begin连一条流量为权值的边到每个实验，从每个仪器连一条流量为权值的绝对值的边到end。
而原来的边的流量都改为INF。如下图。
我们先来阐明一个结论，最小割把整个网络分为两个部分，其中含begin的部分，我们称为V。含end的部分，我们称为P；在V中，除begin外为最大权闭合子图。
我们先来说明两个引理。
**1.最小割是简单割。
简单割指的是一个割中的边都与begin或end相关联。
因为把与begin相连的所有边为A割，而最小割肯定小于或等于A割，而如果最小割不是简单割，那么就包含流量为INF的边，又因为最小割小于或等于A割，所以矛盾。最小割为简单割。
**2.简单割与闭合图一一对应。
那么我们需要说明两个东西。
1.闭合图是由简单割割出来的，如果闭合图不是由简单割割出来的，那么说明割掉了一条流量为INF的边，所以这时闭合图中的某个点的所连边的终点不在集合中，矛盾。
2.简单割构成的一定是闭合图，因为简单割中不包含流量为INF的边，所以对于闭合图中的任意连边两点u，v,c(u,v)=INF;这条边不会被割掉，所以简单割构成的一定闭合图。
终极奥义，证明结论。
我们设一个东西C=V中的负权点的权值的绝对值+P中正权点的权值；（这个就是割集的边的权值和，因为这些东西都写在边上了，网络流的时候在点上是没有任何东西的。）
设W=V中的正权点的权值-V中负权点的权值的绝对值。
W+C=P中正权点的权值+V中正权点的权值。
那么W+C及为所有正权点的和。
设W+C=tot;那么我们知道C为割，W为我们要求的值，tot很明显不变。我们想尽量使我们要求的W尽量大，那么C就要尽量小，所以C就是最小割，我们跑一遍最大流就可以实现。
完了，题解专题中有写。谢谢，不懂评论问我。
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