【编程之美】买票找零

一，问题：n个拿着1元，n个人拿着2元去买票。票价一元，且售票元只能用n个人购票的一元给2元的找零。问有几种排列方法

分析：卡特兰数方法

递推公式：F(2*n) =F(0)*F(2(n-1)) +F(1)*F(2(n-2))+……+F(2(n-1))*F(0)

F(n) =F(0)*F(n-1) +F(1)*F(n-2)+……+F(n-1)*F(0)

解答：

所有序列的个数：C (2n，n) (ps:由于数学函数难打，这里表示从2n个位置中挑选n个存放1)

非法序列的个数：假设有一种序列 n-1个1元，n+1个2元。这种序列个数：C (2n，n-1)

存在K使得这个序列中1的个数比2少1个，则将其后的所有1换成2，所有2换成1。则该序列有n个1，n个2。这样这种序列（n-1个1，n+1个2）跟（n个1，n个2）一一对应。所以，非法序列个数为：C (2n，n-1)

所以合法序列个数：C (2n，n) - C (2n，n-1) =C (2n，n) /(n+1)

二，扩展问题：n个结点可以构造多少个不同的二叉树

分析解答：

当n=1时，只有1个根节点，则只能组成1种形态的二叉树，令n个节点可组成的二叉树数量表示为h(n)，则h(1)=1; h(0)=0;

当n=2时，1个根节点固定，还有2-1个节点。这一个节点可以分成（1,0），（0,1）两组。即左边放1个，右边放0个；或者左边放0个，右边放1个。即：h(2)=h(0)*h(1)+h(1)*h(0)=2，则能组成2种形态的二叉树。

当n=3时，1个根节点固定，还有2个节点。这2个节点可以分成（2,0），（1,1），（0,2）3组。即h(3)=h(0)*h(2)+h(1)*h(1)+h(2)*h(0)=5，则能组成5种形态的二叉树。

以此类推，当n>=2时，可组成的二叉树数量为h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)*h(0)种，即符合Catalan数的定义，可直接利用通项公式得出结果。

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数（卡特兰数）满足递归式：

　　 h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2)

　　另类递归式：
　　 h(n)=((4*n-2)/(n+1))*h(n-1);

　　该递推关系的解为：

　　 h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

扩展：

卡特兰数的应用　　（实质上都是递归等式的应用）

1、括号化问题　　矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

2、出栈次序问题　　一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

　　分析
　　对于每一个数来说，必须进栈一次、出栈一次。我们把进栈设为状态‘1’，出栈设为状态‘0’。n个数的所有状态对应n个1和n个0组成的2n位二进制数。由于等待入栈的操作数按照1‥n的顺序排列、入栈的操作数b大于等于出栈的操作数a(a≤b)，因此输出序列的总数目=由左而右扫描由n个1和n个0组成的2n位二进制数，1的累计数不小于0的累计数的方案种数。

　　在2n位二进制数中填入n个1的方案数为c(2n,n),不填1的其余n位自动填0。从中减去不符合要求（由左而右扫描，0的累计数大于1的累计数）的方案数即为所求。

　　不符合要求的数的特征是由左而右扫描时，必然在某一奇数位2m+1位上首先出现m+1个0的累计数和m个1的累计数，此后的2(n-m)-1位上有n-m个 1和n-m-1个0。如若把后面这2(n-m)-1位上的0和1互换，使之成为n-m个0和n-m-1个1，结果得1个由n+1个0和n-1个1组成的2n位数，即一个不合要求的数对应于一个由n+1个0和n-1个1组成的排列。

　　反过来，任何一个由n+1个0和n-1个1组成的2n位二进制数，由于0的个数多2个，2n为偶数，故必在某一个奇数位上出现0的累计数超过1的累计数。同样在后面部分0和1互换，使之成为由n个0和n个1组成的2n位数，即n+1个0和n-1个1组成的2n位数必对应一个不符合要求的数。

　　因而不合要求的2n位数与n＋1个0，n－1个1组成的排列一一对应。

　　显然，不符合要求的方案数为c(2n,n+1)。由此得出输出序列的总数目=c(2n,n)-c(2n,n+1)=1/(n+1)*c(2n,n)。

　　（这个公式的下标是从h(0)=1开始的）

　　类似问题

　　有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

3、凸多边形的三角剖分问题　　求将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数。

　　类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

　　类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

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