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大纲

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一、树的概念和性质

1.1 树的概念

1.1.1 树的定义

树是n（n≥0）个结点的有限集（n=0时为空树)。在任意一棵非空树中：（1）有且仅有一个根结点Root，树下面有很多子树（递归）（2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根结点的子树(SubTree)。
树是一种递归定义的数据结构。除了根结点外，任何一个结点都有且仅有一个前驱。每个结点可以有0个或多个后继

注意1：n>0时根结点是唯一的
注意2：m>0时，子树个数没有限制，但他们一定互不相交

1.1.2 结点分类与结点间关系

1. 结点分类
树的结点包含一个数据元素 及 若干指向其子树的分支

结点分类	解释
根结点	有且仅有一个根结点（非空树）
分支结点（非终端结点）	有后继的结点
叶子结点（终端结点）	没有后继的结点

2. 结点间关系

结点间关系	解释
孩子结点(Child)	结点的子树的根称为该结点的孩子
双亲结点(Parent)	上述的该结点就是孩子的双亲
兄弟结点(Sibling)	同一个双亲的孩子之间互称兄弟
堂兄弟结点	其双亲在同一层的结点互为堂兄弟
祖先结点	结点的祖先是从根结点到该结点 所经分支的所有结点
子孙结点	以该结点为根的子树中的任一结点都称为 该结点的子孙
两结点间的路径	路径只能从上往下
路径长度	经过几条“边”（层次的差值）

根结点：无双亲，唯一
中间结点：一个双亲多个孩子
叶结点：无孩子，可以多个

1.1.3 树的其他相关概念

术语	解释
结点的层次（深度）	从上往下数（根结点层次为1）
结点的高度	从下往上数（区别树的高度）
(结点的)度	结点有几个孩子/子树
树的度	树内各结点的度的最大值
树的深度/高度	树中结点的最大层次

• 有序树和无序树：若将树中结点的各子树看成从左至右有次序的，不能互换，则称为有序树，否则为无序树
• 树和森林 ：m(m≥0)棵互不相交的树的集合（对树中每个结点而言，其子树的集合就是森林）
  

1.2 (非空)树的性质

1. 结点数 = 总度数+1（只有根结点头上没有“天线”）

2. 度为m的树、m叉树的区别

• 树的度：各结点的度的最大值
• m叉树：各结点最多只能m个孩子的树

度为m的树	m叉树
任意结点的度≤m（最多m个孩子）	任意结点的度≤m（最多m个孩子）
至少有一个结点的度=m（有m个孩子）	允许所有结点的度都<m
一定是非空树，至少m+1个结点	可以是空树

相同点：m叉树第i层至多有m^i-1个结点； 度为m的树第i层至多有m^i-1个结点；**（每个结点都有m个孩子）

不同点： 高度为h的m叉树至多有 (m^h-1/m-1) 个结点（等比数列求和m⁰+m¹+ … +m^h-1），至少有h个结点； 高度为h、度为m的树至少有h+m-1个结点

3. 具有n个结点的m叉树的最小高度（即完全m叉树）为 [log_m(n(m - 1) + 1)]_向上取整 或者 [log_mn]_向下取整+1

• 法一：和上层比较
  
• 法二：和下层比较

1.3 树的存储结构

1.3.1 双亲表示法（顺序存储）

顺序存储结点数据， 结点中保存父结点在数组中的下标

（除了根结点外，其余每个结点一定有且仅有一个双亲，我们约定根结点的双亲指针域设置为-1）

增/删/改/查优缺点：

• 新增数据元素，无需按逻辑上的次序存储
• 删除数据元素两种方案：删除数据元素，父结点数组下标置为-1；将数组最下面的结点替换删除的结点删除的不是叶子结点时，要删除其所有子树的结点
• 查：找父结点方便；找孩子不方便

代码实现：

#define MAX_TREE_SIZE 100    //树中最多结点数
typedef int ElemType;       //树结点的数据类型暂定为整型//1.结点结构
typedef struct PTNode
{ElemType data;         //结点数据元素int parent;         //双亲位置域（数组下标）
}PTNode;//2.树结构
typedef struct
{PTNode nodes[MAX_TREE_SIZE];  //结点数组int n;  //结点数int r;  //根的位置，可不写（默认为0的位置）
}PTree;

1.3.2 孩子表示法

顺序存储结点数据， 结点中保存孩子链表头指针（顺序+链式存储）

增/删/改/查优缺点：

• 查：找孩子方便；找父结点不方便

代码实现：

#define MAX_TREE_SIZE 100    //树中最多结点数
typedef int ElemType;       //树结点的数据类型暂定为整型//1.堂兄弟结构（某一结点的所有孩子组成一个链表）
struct CTNode
{   int child;              //孩子结点在数组中的位置struct CTNode *next;   //下一个孩子
}//2.结点结构
typedef struct
{ElemType data;                     //结点数据元素struct CTNode *firstChild;      //指针域指向第一个孩子（实际指向所有孩子）
}CTBox;//3.树结构
typedef struct
{CTBox nodes[MAX_TREE_SIZE];  //结点数组int n;  //结点数int r;  //根的位置
}CTree;

1.3.3 孩子兄弟表示法（树与二叉树的转换）

用二叉链表存储树——左孩子右兄弟
（孩子兄弟表示法存储的树， 从存储视角来看形态上和二叉树类似，所以可以森林和二叉树的转换（1.4节），也可以用二叉树的操作来处理树（第四节））

代码实现：

//1.树的结点结构和树结构
typedef struct CSNode{ElemType data;                                //数据域struct CSNode *firstchild, *nextsibling;   //第一个孩子和右兄弟指针
}CSNode,*CSTree;//...

1.4 森林与（二叉）树的转换

本质就是用二叉链表存储森林（孩子兄弟表示法）：先将每棵树用孩子转化成二叉树，然后每棵树的根结点为兄弟关系（森林中各个树的根结点之间视为兄弟关系）

二、二叉树的概念和性质

2.1 二叉树的概念

2.1.1 二叉树的定义

二叉树是n（n≥0）个结点的有限集合：
① n = 0 为空二叉树，n = 1 只有根结点
② n > 0 由一个根结点和两个互不相交的被称为根的左子树和右子树组成。左子树和右子树又分别是一棵二叉树。

特点：①每个结点至多只有两棵子树 ②左右子树不能颠倒（二叉树是有序树）

2.1.2 几个特殊的二叉树

1. 满二叉树：一棵高度为h，且含有2h - 1个结点的二叉树
2. 完全二叉树：当且仅当其每个结点都与高度为h的满二叉树中编号为1～n的结点一一对应（如果某结点只有一个孩子，那么一定是左孩子）

3. 二叉排序树：空二叉树或者是具有如下性质的二叉树：
①左子树上所有结点的关键字均小于根结点的关键字；
②右子树上所有结点的关键字均大于根结点的关键字。
③左子树和右子树又各是一棵二叉排序树。
二叉排序树可用于元素的排序、搜索、插入新的结点

4. 平衡二叉树：树上任一结点的左子树和右子树的深度之差不超过1
平衡二叉树能有更高的搜索效率：往宽处长而不往深处长，搜索更快

2.2 二叉树的性质

1. 二叉树第i层最多有2^i-1个结点 (m叉树第i层至多有m^i-1个结点)
2. 高度为h的二叉树至多有 (2^h-1） 个结点 (高度为h的m叉树至多有 (m^h-1/m-1) 个结点)
3. 非空二叉树中度为0、1、2的结点个数分别为n₀、n₁、n₂，则n₀ = n₂ - 1（叶子结点比二分支结点多一个）
   

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1. 具有n个（n > 0）结点的完全二叉树的高度h为[log₂(n + 1)]_向上取整 或[log₂n]_向下取整 + 1 （同完全m叉树）
2. 对于完全二叉树，可以由的结点数n 推出度为0、1和2的结点个数为n₀、n₁和n₂（完全二叉树最多只会有一个度为1的结点）
   

2.3 二叉树的存储结构

2.3.1 二叉树的顺序存储

1. 完全二叉树
按照从上至下、从左至右的顺序依次存储完全二叉树中的各结点


结点编号一般从1开始，方便找结点的左孩子/右孩子/双亲等

代码实现：

#define MAX_SIZE 100
typedef int ElemType; //树结点的数据类型，暂定为整型//1.结点结构
struct TreeNode{ElemType value;     //结点中的数据元素bool isEmpty;     //判断结点是否为空
};//2.树结构
TreeNode T[MAX_SIZE];   //定义一个长度为MAX_SIZE的数组T，按照从上至下、从左至右的顺序依次存储完全二叉树中的各结点//3.初始化时所有空结点标记为空
for(int i = 0; i < MAX_SIZE; i++)
{T[i].isEmpty = true ;
}

常考操作（对于一共n个结点的完全二叉树）：

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