整数在计算机中的编码

整数在计算机中是使用补码表示的，在讲解补码前，先看一下相关概念。

机器数与真值

数值在计算机中的表现形式叫做机器数，该数值就是机器数代表的真值。机器数是真值在计算机中的表现形式，真值是机器数的代表的数值。

比如5在计算机中的表现形式是00000101，所以00000101就是5的机器数，5就是机器数00000101所代表的真值。

整型数在计算机中的编码方式

C语言中的整型数分为有符号数和无符号数两种类型，无符号数代表的都是非负整数，所以在计算机中直接用二进制值表示就可以，但是有符号数既可以表示正整数，也可以表示负整数，所以有符号数在计算机中不能直接用二进制值来表示，需要使用补码的方式来表示。

有符号数在计算机中的编码方式

编码方式是为了解决有符号数在计算机中的表示方式。计算机中的编码方式主要有原码，反码，补码三种方式。

原码

假定机器字长4字节，原码的编码方式规定如下：

最高位是符号位，用0代表正数，用1代表负数，其它位就是真值的绝对值对应的二进制值，比如十进制数5的二进制值是101，又因为5是正数，所以最高位是0，其它位是0000000 00000000 00000000 00000101，完整格式如下：00000000 00000000 00000000 00000101。

上面描述了正数的原码，下面我们看一下负数的原码，比如-5，因为它是负数，所以最高位用1表示，又因为-5的绝对值是5，所以它的绝对值是101，因为它的原码是10000000 00000000 00000000 00000101。但是原码有两个问题，一个是0有两种表示方式，这不符合数学习惯，另一个问题是[5]_原+[-5]_原=[10000000 00000000 00000000 00001010]_原=-10!=0，所以使用原码无法实现正负数的加法运算，也就是说不能实现5-5=0。

反码

为了解决原码中两个正负数相加不等于0的问题，人们设计了反码，反码的规定如下：

正数的反码就是原码，负数的反码最高位是符号位，其它位是它所对应的原码除符号位之外，其它位全部取反。就是原码中除符号位外，0变1,1变0。比如5的原码是00000000 00000000 00000000 00000101，因为5是正数，所以它的反码和原码一样。再比如-5的原码是10000000 00000000 00000000 00000101，因为它是负数，所以除了符号位，其它全部取反，所以它的反码是11111111 11111111 11111111 11111010，所以5-5=[00000000 00000000 00000000 00000101]_反+[11111111 11111111 11111111 11111010]_反=[11111111 11111111 11111111 11111111]_反 = -0，因为0无所谓正负，所以它代表的就是0，所以反码解决了原码相对数相加不等于0的问题，但是，0分为正0和负0不符合数学习惯，所以人们继续改进，发明了补码。

补码

正数的补码和原码、反码一样，负数的补码为它的反码加1，所以5-5=5+(-5)=[00000000 00000000 00000000 00000101]_反+[11111111 11111111 11111111 11111010]_反= 00000000 00000000 00000000 00000101]_补+[11111111 11111111 11111111 11111011]_补= [00000000 00000000 00000000 00000000]_补=0，所以补码解决了正负数相加不等于0的问题，又因为-0的反码加1和+0的补码一样，所以在补码中，0只有一个，就是[00000000 00000000 00000000 00000000]_补，因此，在计算机中有符号数采用补码表示。

补码的数学原理

假设在计算机中用一个字节来表示整数，那么总共可以表示256个整数，如果这些数都是无符号数，那么表示范围是0~255。所以如果是两个无符号数相加，CPU设计就会非常容易，直接对这两个数做二进制运算就可以，但是，有符号数怎么办，因为有符号数涉及符号位的表示，减法的运算，所以如果用正常的逻辑思路去设计CPU的运算器，就需要解决符号位和减法运算的问题，这样CPU的设计就会非常麻烦，而且效率也不高，因此，有人想到了同余数的概念，同余数告诉我们在有限的连续变化空间内，一个二进制数代表的不仅是这一个数，而是与这个值同余的所有整数，比如11111111这个数既可以表示255，也可以表示-1，为什么呢？因为在1个字节存储空间的情况下，-1和255模256相等。又因为同余数的两个性质，一个是数a本身就是自己的同余数，另一个就是如果两个数a和b对m同余，并且c和d也是对m同余，那么，a+c和b+d对m同余。同余的本质就是说这些数对应的位置相同，因此，两个数a和b的减法，就可以表示成a和（-b）对m的补码的加法，

并且它们对应的结果一样，这样就可以将有符号的减法运算转换为无符号的加法运算。下面，我们再具体论证一下，为什么它们的结果相等？因为a和自己是同余数，所以a和a对256同余，又因为-b和-b的补码对256同余，所以a-b和a+(-b的补码）对256同余，又因为同余代表的是同一个位置，所以a-b的结果与a+(-b的补码）的结果一样，因此，补码利用同余数的原理将有符号的减法转换为无符号的加法，从而简化了CPU运算器的设计。

如果还有不明白的地方可以在我的订阅号上留言，我发现后会尽可能回复。

我的订阅号二维码如下：