P3773 CTSC2017 吉夫特

P3773 CTSC2017 吉夫特 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

这个题面非常诈骗，应该是出题者故意的。

题目中那么老长串式子，其实就等价于这个长度为 $m$ 的子序列需要满足：

这个子序列中，对于每一对相邻的前后项(总共 $m - 1$ 对)，设前项是 $a$，后项是 $b$，都有：

\[\dbinom{a}{b} \bmod 2 = 1 \]

至于不上升的限制，那是假的：如果中途上升，也就是存在 $a < b$，显然会有 $\dbinom{a}{b} = 0$，已经不满足题目的制约了。

我们考虑使用 Lucas。有：

\[\dbinom{a}{b} \equiv\dbinom{\lfloor\frac{a}{2}\rfloor}{\lfloor\frac{b}{2}\rfloor}\dbinom{a \bmod 2}{b \bmod 2} \pmod 2 \]

发现后面的组合数只有四种，分别是 $\dbinom{0}{0}$，$\dbinom{0}{1}$，$\dbinom{1}{0}$，$\dbinom{1}{1}$。除了 $\dbinom{0}{1} = 0$ 以外，剩下的均为 $1$。

然后接着对 $\dbinom{\lfloor\frac{a}{2}\rfloor}{\lfloor\frac{b}{2}\rfloor}$ Lucas。我们发现这不就是在对 $a$ 和 $b$ 二进制拆位吗。

换句话说，设 $a_i$ 表示 $a$ 的二进制从低到高第 $i$ 位，那么有：

\[\dbinom{a}{b} \equiv \dbinom{a_0}{b_0}\dbinom{a_1}{b_1} \dbinom {a_2}{b_2} \cdots \pmod 2 \]

显然当且仅当中间没出现过 $\dbinom{0}{1}$ 这一项，整个同余式最后会和 $1$ 同余。

也就是说，不存在某一位使得 $a$ 在这一位上是 $0$ 而 $b$ 在这一位上是 $1$。

想一下，这不就是在说 $b$ 所有为 $1$ 的二进制位是 $a$ 所有为 $1$ 的二进制位的子集吗。

简单刷表 dp 就可以了。

const int maxa = 250005;
const int mod = (int)1e9 + 7;int f[maxa];signed main() {int n = read(), ans = 0;for (int i = 1; i <= n; ++i) {int x = read();for (int j = (x & (x - 1)); j; j = (x & (j - 1)))(f[j] += f[x] + 1) %= mod;(ans += f[x]) %= mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

P3773 CTSC2017 吉夫特相关推荐

洛谷P3773 [CTSC2017]吉夫特(Lucas定理,dp)
题意满足$b_1 < b_2 < \dots < b_k$且$a_{b_1} \geqslant a_{b_2} \geqslant \dots \geqslant a_{b_k} ...
[CTSC2017]吉夫特
[Luogu3773] [LOJ2264] [UOJ300] 题解 $x!的2因子数f(x)=\sum_{i=1}^{ \infty} \frac{x}{2^i}$ 我们设$g(x)=x,$那 ...
loj 300 [CTSC2017]吉夫特【Lucas定理 + 子集dp】
题目链接 loj300 题解 orz litble 膜完题解后,突然有一个简单的想法: 考虑到$2$是质数,考虑Lucas定理: \[{n \choose m} = \prod_{i = 1} { ...
[CTSC2017]吉夫特（思维+巧妙）
description 戳我看题目 solution 显然只要选出来的子序列有一个组合数为偶数,最后取模 222 的结果都会是零有一个结论:当且仅当n&m=m时,CnmC_n^mCnm为奇 ...
[CTSC2017]吉夫特(Lucas定理,DP)
送70分,预处理组合数是否为偶数即可. 剩下的数据,根据Lucas定理的推论可得当且仅当n&m=n的时候,C(n,m)为奇数. 这样就可以直接DP了,对于每个数,考虑它对后面的数的影响即可,直 ...
2018十二月刷题列表
Preface $2018$年的尾巴,不禁感慨自己这一年的蜕变只能用蜕变来形容了. 而且老叶说我们今年没的参加清北冬令营可以参加CCF在广州二中举办的冬令营,只要联赛$390+$就应该可以报. ...
PKUSC2018训练日程(4.18~5.30)
(总计:共66题) 4.18~4.25:19题 4.26~5.2:17题 5.3~5.9: 6题 5.10~5.16: 6题 5.17~5.23: 9题 5.24~5.30: 9题 4.18 [BZO ...
#300. 【CTSC2017】吉夫特
明明已经广为流传,bzojbzoj就是不贴题面 uojuoj题面传送门吉夫特考虑Cmn mod 2≡1C_n^m\ mod\ 2\equiv 1的成立条件根据LucasLucas定理,有Cmn m ...
【CTSC2017】【BZOJ4903】吉夫特卢卡斯定理 DP
题目描述给你一个长度为$n$的数列$a$,求有多少个长度$\geq 2$的不上升子序列$a_{b_1},a_{b_2},\ldots,a_{b_k}$满足 \[ \prod_{i=2 ...

P3773 CTSC2017 吉夫特

P3773 CTSC2017 吉夫特相关推荐

最新文章

热门文章