和为S的连续正数序列(数学技巧，事半功倍)

和为S的连续正数序列

题目描述
题目分析
- 双指针/滑动窗口法
- - C++代码
  - python代码
- 纯数学技巧法

数学的基础在算法中的用处大概就是对数字的敏感性了，如果能找到数字的规律，在求解数字的时候往往就能根据规律快速求解。而普通的程序思维相比数学思维，一般就略微显得暴力。

题目描述

小明很喜欢数学,有一天他在做数学作业时,要求计算出9~16的和,他马上就写出了正确答案是100。但是他并不满足于此,他在想究竟有多少种连续的正数序列的和为100(至少包括两个数)。没多久,他就得到另一组连续正数和为100的序列:18,19,20,21,22。现在把问题交给你,你能不能也很快的找出所有和为S的连续正数序列?

题目分析

这个题目也算得上是给你一个数计算机能玩一天的题目，我们仍然从直观的思维开始一步步深入分析。
要求这个序列，我们可以逐个数字去找从iii开始的序列，显然i>0i>0i>0，但是我们也没有必要所有序列都去找，毕竟以iii开始的序列，最多只有一个等于S，如果我们发现以iii开始，以jjj结尾的序列和大于等于S了，显然后面就不用找了。此外，序列最少要包括两个数，显然如果i≥S2i≥\frac{S}{2}i≥2S，那么两个数之和肯定大于S了，此时我们也不用找了。我们求和的时候每一次序列多一个数，所以求和的复杂度是O(1)O(1)O(1)，但是我们要找多少个序列，这个问题的复杂度就是多少，大致是O(SlgS)O(SlgS)O(SlgS)的。

双指针/滑动窗口法

我们要表示一个连续序列，我们只需要知道两个数的位置就够了，只需要知道从开始开始，到哪里结束。既然使用双指针的思想，那就可以参考和为S的两个数字，双指针解法。我们使用两个指针，一个记录序列的开始，一个记录序列的结束。
如果两个指针记录的序列和小于S，则说明应该增大和，需要往序列里面添加数字，此时记录结尾的指针就需要后移，纳入更多的数字。如果序列和大于S，那么说明以序列开头的数字不可能存在和为S的序列了。此时需要减少数字，则开头指针后移。如果和等于S，则把这个序列记录，然后开头指针后移。这样的操作不会漏掉满足需求的值原理和引用的文章类似，有兴趣可以回去查看。
我们来看一个例子，以S=9为例。初始化前指针pBeg=1,后指针pEnd=2。

pBeg	pEnd	sum 状态 S	下一步操作
1	2	3小于9	pEnd++
1	3	6小于9	pEnd++
1	4	10大于9	pBeg++
2	4	9等于9(保存)	pBeg++
3	4	7小于9	pEnd++
3	5	12大于9	pEnd++
4	5	9等于9(保存)	pBeg++，pBeg==5退出

熟悉了这个过程，差不多可以写出代码了。

C++代码

class Solution {public:vector<vector<int>>  FindContinuousSequence(int S) {vector<vector<int>> res;int pBeg = 1, pEnd = 2,sum=3,mid=S>>1;while (pBeg <= mid){ if(sum>=S){if (sum == S){vector<int> tmp;for (int i = pBeg; i <= pEnd; i++)tmp.push_back(i);res.push_back(tmp);}sum -= pBeg;pBeg += 1;}else{pEnd += 1;sum += pEnd;}}return res;}
};

python代码

class Solution:def FindContinuousSequence(self, S):pBeg = 1pEnd = 2middle = (S + 1)>>1curSum = 3output = []while pBeg < middle:if curSum >= S:if curSum == S:output.append(range(pBeg, pEnd + 1))curSum -= pBegpBeg += 1else:pEnd += 1curSum += pEndreturn output

这里用的还是双指针或者叫滑动窗口的技巧求解，因为两个指针都是单向前进，没有回溯的过程，所以这个时间复杂度很好分析，就是O(S)O(S)O(S)了，这个技巧还是蛮重要的，可以看到相比第一种分析复杂度已经进步了不少，因为这里已经利用了和的比较关系，省去了很多计算。

纯数学技巧法

如果我们觉得上面的方法还是在找连续序列的和，这个方法就可以说是直接计算了。我们都知道如果让我们去求连续序列的和，我们肯定会知道一个公式，(首项+尾项)*项数/2。但是这里需要怎么用上这个公式呢。
我们假设序列的首项是i，尾项是j。我们可以轻易求出sum=(i+j)(j−i+1)/2sum=(i+j)(j-i+1)/2sum=(i+j)(j−i+1)/2，我们把2移到等式左边可以得到2sum=(i+j)(j−i+1)2sum=(i+j)(j-i+1)2sum=(i+j)(j−i+1)，显然我们有点二年级的数学水平就知道(i+j)和(j−i+1)(i+j)和(j-i+1)(i+j)和(j−i+1)一个是奇数，一个是偶数。那现在就容易多了，我们直接求出sum的所有奇数因子，那么显然所有的奇数因子就构成了一组或两组解。可以通过质因数分解，把所有的质因数任意组合则得到所有的质数因子。
为什么是一组或者两组，因为可能i解出来是个负数。我们不妨设这个奇数因子是odd，那么显然那个偶数因子就是sum∗2/oddsum*2/oddsum∗2/odd，这个时候用两个数列两个方程：
{odd=i+j2sumodd=j−i+1and{odd=i+j2sumodd=j−i+1\left \{ \begin{aligned} odd & = & i+j \\ \frac{2sum}{odd} & = & j-i+1 \\ \end{aligned} \qquad and \qquad \right. \left \{ \begin{aligned} odd & = & i+j \\ \frac{2sum}{odd} & = & j-i+1 \\ \end{aligned} \right. ⎩⎨⎧oddodd2sum==i+jj−i+1and⎩⎨⎧oddodd2sum==i+jj−i+1
通过这两个方程求解出iii和jjj，然后舍去不符合条件的数值。如果这是一道选择题，到这里也就结束了。我下面给出一个参考代码。只知道在大数测试上，双指针根本无法等待出结果，这个方法很快就能算出来。因为需要质因数分解，难以评估复杂度，代码中需要保存下来的质数可以用于后续计算，这样计算的次数越多，省下来的时间就越多。

class Solution:prim = [2, 3, 5, 7, 11]def primeFactorization(self, tsum):for i in range(self.prim[-1]+1,int(tsum**0.5),2):flag=Truefor j in self.prim:if i%j==0:flag=Falsebreakif flag:self.prim.append(i)i=0fac=[]while i<len(self.prim):if tsum%self.prim[i]:i+=1continuefac.append(self.prim[i])tsum/=self.prim[i]return facdef FindContinuousSequence(self, tsum):fac=self.primeFactorization(tsum)odd=[i for i in fac if i%2]fact=set()res=[]mul=lambda x,y:x*yfor i in range(len(odd)):l=permutations(odd,i+1)for j in l:a=reduce(mul,j)fact.add(a)fact.add((tsum<<1)//a)fact=sorted(list(fact))for i in fact:j=tsum*2//iif i<j+1:continueres.append(list(range((i-j+1)>>1,(i+j+1)>>1)))return res

这种方法仅供参考，有利于思维方式的提高。总之一句话，数学能力在算法分析中会起到至关重要的作用，之中能力是需要慢慢累积出来的。