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前言

在之前的数据结构学习中，我们学习了顺序表、链表、栈、队列这几种结构

它们都是用链表或者数组的方式来实现的，主要考察我们对结构体的运用

今天让我们来学习一个新的数据结构，也就是下面这副图里面的树

啊不好意思，图拿错了！????

是下面这个才对

1.什么是树？

1.1树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n个有限节点组成的具有一定层次关系的集合。

把它叫做树是因为它看起来的确像一个树的根部

当然也可以理解为是树干在上，树叶在下的结构

• 有一个特殊的节点，被称为根节点，也就是树的开头

• 除了根节点外，其余节点都是,个互不相交的集合。

• 每一个集合都是一颗与树的结构类似的子树

• 每一个节点只能有一个前驱，但是可以有很多个后驱 因此，树是递归定义的

树中的子节点不能有交集

• 上图中的B节点不能有G这个孩子，因为G已经有父母C了

• 同理，G节点也不能同时拥有两对父母

• 子节点之间也不能相连，如E和F不能相连

1.2树的相关知识点

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；如下图：A的度为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；图中B、C、H、I…等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点；如上图中D、E、F、G…等节点为分支节点

简单的说，就是有娃的节点就是分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；如上图，D是H的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；如上图：H是D的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；如下图：P、Q是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；示例中树的度为6（即A的度）

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推

树的高度或深度：树中节点的最大层次；示例中树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如下图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；示例中A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。示例中所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林

多个不相交的树就是森林

1.3树的代码表示

表示树的方式有很多种，比如下面这种

#define N 5 //指定树的度为5
struct TreeNode
{int data;struct TreeNode* subs[N];//用指针数组存放孩子节点的指针
};

但这种方法不够优，给大家展示一个用的最广泛的方法——孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{struct Node* _firstChild1; // 第一个孩子结点struct Node* _pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点DataType _data; // 结点中的数据域
};

通过这种方法，父亲节点只需要保存它的第一个娃，其他娃就让大娃的兄弟节点来找

也就是家长只用管老大，老大管老二，老二管老三，依次往下……

实际写代码的结构大概是下图这样

2.二叉树

在实际中，二叉树是使用较多的一种树的结构

2.1概念

二叉树是度为2的树，它是一个特殊的树

• 二叉树不存在度大于2的节点

• 二叉树是有序树，它的娃（子树）有左右之分，次序不能颠倒

所以，二叉树都是由下面各类节点组成的树

2.2特殊的二叉树

满二叉树：如果每一个层的节点数都达到最大值，那这个二叉树就是满二叉树。也就是说：满二叉树的层数为k，且节点总数是2k-1

满二叉树的节点数是一个等比数列公式2 0 + 2 1 + 2 2 + . . . + 2 k − 1 = 1 ∗ ( 1 − 2 k ) / ( 1 − 2 ) = 2 k − 1 2^0+2^1+2^2+...+2^{k-1}=1*(1-2^k)/(1-2)=2^k -1 20+21+22+...+2k−1=1∗(1−2k)/(1−2)=2k−1

完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构。对于深度为K，有n个节点的二叉树，当且仅当每一个节点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的节点一一对应时，称为完全二叉树。

简单说来，完全二叉树的最后一层不一定满，但必须要从左到右连续

满二叉树是一个特殊的完全二叉树

2.3二叉树的性质

• 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2(i-1)个结点

• 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2h-1

• 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为n0, 度为2的分支结点个数为n2，则有n0 = n2+1

• 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log2(n+1) 。(ps：是log以2为底，n+1为对数)

• 对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根节点编号，无双亲节点

2. 若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，2i+1>=n否则无左孩子

3. 若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，2i+2>=n否则无右孩子

2.4几个选择题

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）
A 不存在这样的二叉树
B 200  √
C 198
D 199
//叶子节点的数量 总比度为2的节点多12.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n    √
B n+1
C n-1
D n/2
//N0+N1+N2=2n
//2N0+N1-1=2n
//N1只有0和1两种可能，因为n为整数，2n为偶数，所以2N0=2n，N0=n3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10  √
C 8
D 12
//假设高度是h
//完全二叉树节点最多2^h -1
//             最少2^(h-1)-1 +1
//可以通过这两个公式，推断出h=10

3.二叉树的存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构

3.1顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储

一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。

现实使用中只有堆才会使用数组来存储

下一篇博客会带大家认识堆这个特殊的树形结构（和内存里面那个堆????没啥关系哈）

看到这张图，你肯定想问，如果用数组结构存储，那还怎么还原出一颗树????呢？

这里我们需要理解物理存储和逻辑结构的关系

二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

那怎么计算这种情况下的父亲和娃呢？

• leftchild=parent*2+1

• rightchild=parent*2+2

• parent=(child-1)/2

怎么样，是不是忽然感觉妙级了？

3.2链式存储

这就就没啥好说的啦，使用一个简单的二叉链就能构成二叉树

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子BTDataType _data; // 当前节点的值
}

结语

嘿嘿嘿，本篇博客到这里就结束啦！

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