白话解析BS模型（三）

在二叉树模型中我们考虑了买入delta份股票卖出一份看涨期权的无风险组合。提到了将分叉步数变大后，每一步的Delta值都是不同的，其任何一个微小时期内的Delta等于Δf/ΔS，而无风险收益就等于无风险利率。在考虑股价变动的连续过程中，股价的微小变动是是期望收益率加上一个维纳过程。期权的微小变动虽然表达式更为复杂但其维纳过程和标的股票相同。在建立对冲组合后此“噪音”就可以约去。BS模型通过这些原理性的公式上推导，过程在此我们完全忽略它。因为我们的重点在于BS模型的结论和强调它产生的前提条件。

当然BS模型的公式我们还是要摆出来，对于熟悉EXCEL的人来说，使用标准正态累积分布函数NORMSDIST来表达BS也不算很复杂。

看涨期权C=S0*NORMSDIST(d1)-K*EXP(-r*T)*NORMSDIST(d2)

看跌期权P=K*EXP(-r*T)*NORMSDIST(-d2)-S0*NORMSDIST(-d1)

其中S0为股票现价，K为行权价格，T为时期，r为无风险利率，σ为波动率，

d1=(LN(S0/K)+(r+0.5*σ^2)*T)/(σ*SQRT(T))

d2=d1-σ*SQRT(T)

（以上公式的条件：σ为常量、允许使用全部所得卖空衍生品、无风险利率在期间是常量、证券交易是连续的，不会发生突然的大波动、公式中没有包含交易费用、税收、红利。可以有变形的公式解决这些限制条件，在此不深入讨论了，这并不影响我的结论）

我们首先发现在整个BS模型中没有出现期望收益率，期权的定价完全由股票当前价格、波动率、无风险利率和剩余时间来确定，它们都独立于风险偏好。这点从我们一开始就提到买股票卖期权的无风险组合中可以得到直观的感受，因为不管上涨还是下跌，组合的价值在建立时就确定了。在这个风险中性的世界里，收益率就是无风险利率。任何现金流的现值就是无风险利率的贴现。风险中性投资者并不需要某种补偿来促使他们承担风险。现实中，如果股票价格的期望增长率改变了，那衍生证券的贴现率也改变了，两者总能互相抵消。

但是，抵消就意味着对冲。这一系列推导的一个现实前提是，市场可以建立组合进行对冲以建立无风险组合，这样保证了市场没有套利机会。因为如果存在套利机会，一定可以发现一个高于无风险利率的无风险组合。但是，如果一个资本市场没有套利者，或者套利资金远远小于投机资金，或者干脆没有丰富的衍生品用于对冲，就象我们上面一直谈及的无风险组合，如果不能够卖出看多期权取得现金流，那BS模型还有什么用武之地呢？遗憾的是，我们的市场现状正是如此。

实证也可以说明我的观点。例如我们的看涨权证会出现低于内在价值，一只股票价格20元时，行权价18元的权证价格可能小于2元。看看BS公式就会发现这对于模型是不可能出现的计算结果。因为本质上这存在套利的机会。但我们不能卖空股票。再例如我们的价外“末日”权证会以一个高价收盘，可怜的是还没人能赚这个明显“不可理喻”机会的钱。

对任何并没有研究透彻的东西顶礼膜拜都是件危险的事。虽然短周期内，BS模型对期权的定价可以证明和通过象二叉树或者蒙特卡洛模型的计算机模拟结果是非常一致的。但其模拟的前提都是在期望收益率等于无风险利率的风险中性世界里。如果你投资本身就是在期权的敞口，那这样的计算结果可能只在短期有一定的参考价值，但在长期来看这样的计算意义不大。例如巴菲特就会因自己的保险公司能卖出通过BS模型算出如此高价的远期看跌期权乐开了怀（详见我去年写的《别太在意BS模型》）。价值投资者自然对这些不基于主观研究而基于历史波动的复杂模型避而远之，但即使你不是一个价值投资者，而是一个投机客，你也不要把BS模型当成决策准绳。你没有丰富的金融工具可以对冲期望收益率和在它之上的随机波动。用它在我们目前的衍生品市场中给出的定价做投资依据是极其危险的，因为模型依靠的假设和依据的普遍而成熟的市场环境目前在我国得不到支持。

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