分布函数弱收敛和一致收敛

经验分布弱收敛和一致收敛到某一特定分布

定理：
若 F n ⇒ F F_n \Rightarrow F Fn⇒F，且 F F F 连续，则:
lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ t ∣ F n ( t ) − F ( t ) ∣ = 0 \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{t} | F_n(t) - F(t)| =0 n→∞limtsup∣Fn(t)−F(t)∣=0

Proof：
由于 F F F 是某一分布函数，所以必定 ∃ M > 0 \exist M>0 ∃M>0 ，使得对于 ∀ ε > 0 \forall \varepsilon >0 ∀ε>0，有:
{ 1 − F ( M ) < ε F ( − M ) < ε \left\{ \begin{matrix} 1- F(M) < \varepsilon \\ F(-M) < \varepsilon \end{matrix} \right. {1−F(M)<εF(−M)<ε
对于区间 [ − M , M ] [-M,M] [−M,M]，一定存在划分 − M = x 0 < x 1 < ⋯ < x J = M -M = x_0 < x_1< \cdots < x_J = M −M=x0<x1<⋯<xJ=M，使得:
对于上述的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0， ∃ δ > 0 \exist\ \delta >0 ∃ δ>0，当 x i + 1 − x i < δ x_{i+1} -x_i < \delta xi+1−xi<δ 时，
F ( x i + 1 ) − F ( x i ) < ε (1) F(x_{i+1}) - F(x_i) < \varepsilon\tag{1} F(xi+1)−F(xi)<ε(1).
(这里其实是给出了每个小区间内函数差值上界)

已知 F n ⇒ F F_n \Rightarrow F Fn⇒F，那么，对于上述的 ε > 0 \varepsilon >0 ε>0, ∃ N ∈ N \exist \ N \in \mathbb{N} ∃ N∈N，使得当 n > N n > N n>N时：
∣ F n ( x i ) − F ( x ) ∣ ≤ ε (2) |F_n(x_i) - F(x)| \leq \varepsilon\tag{2} ∣Fn(xi)−F(x)∣≤ε(2)
(这里给出了每个小区间内 F n F_n Fn和 F F F的差值上界)

故， ∀ x ∈ [ − M , M ] \forall x \in [-M,M] ∀x∈[−M,M]， ∃ i → x ∈ [ x i , x i + 1 ] \exist i \rightarrow x \in [x_i,x_{i+1}] ∃i→x∈[xi,xi+1] ，此时：

∣ F n ( x ) − F ( x ) ∣ ≤ ∣ F n ( x i + 1 ) − F ( x ) ∣ ( 因为 F n 单调不减 ) = ∣ F n ( x i + 1 ) − F ( x i + 1 ) + F ( x i + 1 ) − F ( x ) ∣ ≤ ∣ F n ( x i + 1 ) − F ( x i + 1 ) ∣ + ∣ F ( x i + 1 ) − F ( x ) ∣ ( 三角不等式 ) ≤ 2 ε ( 用上面的 ( 1 ) ( 2 ) ) \begin{aligned} |F_n(x) - F(x)| & \leq |F_n(x_{i+1}) - F(x)|(因为F_n单调不减)\\ & = |F_n(x_{i+1}) - F(x_{i+1})+F(x_{i+1})-F(x)|\\ & \leq |F_n(x_{i+1}) - F(x_{i+1})| + |F(x_{i+1})-F(x)|(三角不等式)\\ & \leq 2\varepsilon(用上面的(1)(2)) \end{aligned} ∣Fn(x)−F(x)∣≤∣Fn(xi+1)−F(x)∣(因为Fn单调不减)=∣Fn(xi+1)−F(xi+1)+F(xi+1)−F(x)∣≤∣Fn(xi+1)−F(xi+1)∣+∣F(xi+1)−F(x)∣(三角不等式)≤2ε(用上面的(1)(2))
由于 ε \varepsilon ε 是任意的，可以任意小，所以有：
lim ⁡ n → ∞ sup ⁡ t ∣ F n ( t ) − F ( t ) ∣ = 0 \lim\limits_{n \to \infty} \sup_{t} | F_n(t) - F(t)| =0 n→∞limtsup∣Fn(t)−F(t)∣=0
得证。

分布函数弱收敛和一致收敛相关推荐

统计学中特征函数理解和学习
在概率论中,特征函数的益处体现在: 任意分布与它的特征函数一一对应: 两个独立随机变量之和的特征函数就是它们二者特征函数的积: 特征函数在零点附近收敛 == 分布函数弱收敛(Levi continuo ...
R语言与点估计学习笔记（EM算法与Bootstrap法）
一.EM算法 EM算法是一种在观测到数据后,用迭代法估计未知参数的方法.可以证明EM算法得到的序列是稳定单调递增的.这种算法对于截尾数据或参数中有一些我们不感兴趣的参数时特别有效. EM算法的步骤为: ...
UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理20 弱收敛的性质
UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理20 弱收敛的性质性质一:两种定义的等价性随机变量依分布收敛定义一: 假设{Xn}\{X_n\}{Xn}是一列随机变量,称它依分布收敛到XX ...
数理统计之参数估计与假设检验（二）——经验分布函数与QQ图
参数估计与假设检验经验分布函数定义具体应用 Q-Q图例题参考文献经验分布函数定义设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,.. ...
UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理13 Glivenko-Cantelli定理：经验分布函数收敛到真实分布
UA MATH563 概率论的数学基础中心极限定理13 Glivenko-Cantelli定理:经验分布函数收敛到真实分布这一讲我们介绍大数定律的一个应用,说明经验分布函数会收敛到真实的分布.先回 ...
2018-4-2 幂律分布函数
材料来源幂律分布 - CSDN博客 https://blog.csdn.net/Together_CZ/article/details/71403073?locationNum=6&fps= ...
R语言威尔考克森秩和统计分布函数Wilcoxon rank Sum Statistic Distribution（dwilcox, pwilcox, qwilcox rwilcox）实战
R语言威尔考克森秩和统计分布函数Wilcoxon rank Sum Statistic Distribution(dwilcox, pwilcox, qwilcox & rwilcox)实战 ...
R语言Wilcoxon Signed-rank统计分布函数（dsignrank, psignrank, qsignrank rsignrank ）实战
R语言Wilcoxon Signed-rank统计分布函数(dsignrank, psignrank, qsignrank & rsignrank )实战目录 R语言Wilcoxon Sig ...
R语言威布尔分布函数F Distribution（dweibull, pweibull, qweibull rweibull ）实战
R语言威布尔分布函数F Distribution(dweibull, pweibull, qweibull & rweibull )实战目录 R语言威布尔分布函数F Distribution ...

分布函数弱收敛和一致收敛

经验分布弱收敛和一致收敛到某一特定分布

分布函数弱收敛和一致收敛相关推荐

最新文章

热门文章