算法导论3th 第五章课后题解答

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Exercises 5.1-1
`Answer`
Exercises 5.1-2
`Answer`
Exercises 5.1-3
`Answer`

Exercises 5.1-1

Show that the assumption that we are always able to determine which candidate is best in line 4 of procedure HIRE-ASSISTANT implies that we know a total order on the ranks of the candidates.

证明：假设在过程 HIRE-ASSISTANT 的第四行中，我们总能够决定哪一个应聘者是最优秀的，则意味这我们知道所有应聘者排名的次序。

`Answer`

always这个词表示对所有n!种组合，都能够确定，而这n!种组合已经囊括了所有的两两比较的案例。

Exercises 5.1-2

Describe an implementation of the procedure RANDOM(a, b) that only makes calls to RANDOM(0, 1). What is the expected running time of your procedure, as a function of a and b?

请描述程序 RANDOM(a, b) 的一种实现方法，它只调用 RANDOM(0, 1)。作为一个关于a和b的函数，你的程序的期望运行时间是多少？

`Answer`

我们已经拥有一个 RANDOM(0, 1) 函数，现在需要生成 a~b 之间的随机数，我们可以使用二分法，使用 RANDOM(0, 1) 来划分出我们随机数是在 a~b 中的左边还是右边，然后依次类推下去，直到无法二分为止。显而易见，算法完成所需的循环次数 nnn 满足 2n=(b−a)2^n=(b-a)2n=(b−a) ，这个算法的复杂度是 O(lg(n))O(lg(n))O(lg(n))，其中 n=(b−a)n=(b-a)n=(b−a)。

数学推导如下：
while循环的每次迭代都需要 O(n) 时间来运行，循环在给定迭代中停止的概率为 (b−a+1)(2n)\frac{(b-a+1)}{(2^n)}(2n)(b−a+1) ，没有停止的概率为 1−(b−a+1)(2n)1-\frac{(b-a+1)}{(2^n)}1−(2n)(b−a+1) 。因此，预期运行时间是while循环时间n的预期迭代次数。通过以下方式给出：
n∑i≥1ni(1−b−a+12n)i−1(b−a+12n)=n((b−a+1)2n)((2n)b−a+1)2=n2nb−a+1=O(lg(b−a))n \sum_{i\ge1}^n i (1-\frac{b-a+1}{2^n})^{i-1}(\frac{b-a+1}{2^n}) = n(\frac{(b-a+1)}{2^n})(\frac{(2^n)}{b-a+1})^2=n\frac{2^n}{b-a+1}=O(lg(b-a)) ni≥1∑ni(1−2nb−a+1)i−1(2nb−a+1)=n(2n(b−a+1))(b−a+1(2n))2=nb−a+12n=O(lg(b−a))

Exercises 5.1-3

Suppose that you want to output 0 with probability 1/2 and 1 with probability 1/2. At your disposal is a procedure BIASED-RANDOM, that outputs either 0 or 1. It outputs 1 with some probability p and 0 with probability 1 - p, where 0 < p < 1, but you do not know what p is. Give an algorithm that uses BIASED-RANDOM as a subroutine, and returns an unbiased answer, returning 0 with probability 1/2 and 1 with probability 1/2. What is the expected running time of your algorithm as a function of p?

假设你希望以 12\frac{1}{2}21 的概率输出 0 和 1。你可以自由使用一个输出 0 或 1 的程序 BIASED-RANDOM ，它会以某个概率 p 输出 0，1-p 的概率输出 1 。但是我们不知道p的准确数值。请给出一个使用 BIASED-RANDOM 作为子程序的算法，他可以输出一个无偏的结果，0和1都能以50%的概率输出。作为 p 的一个函数，你的算法期望运行时间是多少？

`Answer`

显然，在这个条件中，01和10出现的概率是相同的，都是 p(1-p)，那么我们就可以在输出不相等的时候，随意输出其中一个数字即可完成目标。

while true:x = BIASED-RANDOM()y = BIASED-RANDOM()if x != y:return x

expected running time ：1/(2p(1-p))

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