【PKUWC2018】随机游走【Min-Max容斥】【树形dp】【FWT】

题意：给一棵nnn个点的无权树和xxx，qqq次询问，每次给定一个点集SSS,询问从xxx开始每次随机走一步，SSS中的每个点至少被经过一次的期望步数。

n≤18,q≤5000n\leq 18,q\leq 5000n≤18,q≤5000

题目求的相当于是SSS中的所有点第一次被访问的时间的最大值的期望，发现nnn很小，可以Min-Max容斥成第一次到SSS 中任意一个点的期望时间。

然后考虑 dp。设xxx为根，fuf_ufu表示从uuu开始到SSS中任意一个点的期望时间。

fu=1degu(ffau+∑v∈sonufv)+1f_u=\frac{1}{deg_u}(f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}f_v)+1fu=degu1(ffau+v∈sonu∑fv)+1

degu⋅fu=ffau+∑v∈sonufv+degudeg_u\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}f_v+deg_udegu⋅fu=ffau+v∈sonu∑fv+degu

一个套路，待定系数法设fu=kuffau+buf_u=k_uf_{fa_u}+b_ufu=kuffau+bu

degu⋅fu=ffau+∑v∈sonu(kvfu+bv)+degudeg_u\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum _{v\in son_u}(k_vf_u+b_v)+deg_udegu⋅fu=ffau+v∈sonu∑(kvfu+bv)+degu

(degu−∑kv+1)⋅fu=ffau+∑bv+degu(deg_u-\sum k_v+1)\cdot f_u=f_{fa_u}+\sum b_v+deg_u(degu−∑kv+1)⋅fu=ffau+∑bv+degu

解得

kv=1degu−∑kv+1k_v=\frac{1}{deg_u-\sum k_v+1}kv=degu−∑kv+11

bv=∑bv+degudegu−∑kv+1b_v=\frac{\sum b_v+deg_u}{deg_u-\sum k_v+1}bv=degu−∑kv+1∑bv+degu

如果u∈Su\in Su∈S，有fu=0f_u=0fu=0，对它的父亲没有贡献，直接ku=bu=0k_u=b_u=0ku=bu=0

SSS的答案就是fx=bxf_x=b_xfx=bx，乘上容斥系数再FWT一下就可以快速回答询问

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cctype>
#include <vector>
using namespace std;
const int MOD=998244353;
typedef long long ll;
inline int qpow(int a,int p)
{int ans=1;while (p){if (p&1) ans=(ll)ans*a%MOD;a=(ll)a*a%MOD,p>>=1;}return ans;
}
#define inv(x) qpow(x,MOD-2)
inline int add(const int& x,const int& y){return x+y>=MOD? x+y-MOD:x+y;}
inline int dec(const int& x,const int& y){return x<y? x-y+MOD:x-y;}
int k[20],b[20];
vector<int> e[20];
void dfs(int u,int f,int S)
{if (S&(1<<u)) return (void)(k[u]=b[u]=0);int sumk=0,sumb=0;for (int i=0;i<(int)e[u].size();i++)if (e[u][i]!=f)dfs(e[u][i],u,S),sumk=add(sumk,k[e[u][i]]),sumb=add(sumb,b[e[u][i]]);k[u]=inv(dec((int)e[u].size(),sumk)),b[u]=((ll)e[u].size()+sumb)*k[u]%MOD;
}
int f[1<<20];
int main()
{int n,q,x;scanf("%d%d%d",&n,&q,&x);for (int i=1;i<n;i++){int u,v;scanf("%d%d",&u,&v);e[u].push_back(v),e[v].push_back(u);}for (int S=1;S<(1<<n);S++){dfs(x,0,S<<1);f[S]=b[x];int c=0;for (int i=0;i<n;i++) c^=(S>>i)&1;if (!c) f[S]=dec(0,f[S]);}for (int l=0;l<n;l++){int mid=1<<l,len=mid<<1;for (int s=0;s<(1<<n);s+=len)for (int k=0;k<mid;k++)f[s+mid+k]=add(f[s+mid+k],f[s+k]);}while (q--){int S=0;int k;scanf("%d",&k);for (int i=1;i<=k;i++){int x;scanf("%d",&x);S|=1<<x;}printf("%d\n",f[S>>1]);}return 0;
}

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