codefoces 939E Maximize!好题

题解

若存在一个子集s满足答案的话，则该子集一定包含集合S的最大值。
反证法证明：
假设s集合中最大的元素为x，S集合中最大的元素为X。则如果把x换成X，最大值增加了X-x，而平均值增量一定不大于X-x。
这样的话，确定了最大值，s中剩下的数一定从集合S中从小到大依次选取，
而存在一个事实：我们通过不断向集合s中添加元素，集合s的平均值会先减小，后增大。
这个事实可以这样理解：集合s一开始只有X，平均值为X，增加一个元素a1a_1a1的时候，平均值为mean=(X+a1)/2mean=(X+a_1)/2mean=(X+a1)/2，变小了，而如果下一个选的元素a2a_2a2小于mean，那么平均值将变小，否则将变大。由于aia_iai总是递增的，所以mean会先变小后变大。
分析到这里，我们可以得到mean的变化是一个凸函数，可以用三分法求极值点。这样就做完了。
Notice：这个题有一个特殊的性质，那就是决策点是单调递增的，直接暴力求解就可以了，用不上三分。
那么为什么决策点是单调递增的呢？因为最大值是不会变小的的，所以决策点不会变小，仔细思考一下。

代码

上一份三分做的代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const double inf = 1e18;
int Q;
int cnt = 0;
ll sum[1000000];
double check(int mid,ll x){return double(sum[mid]+x)/double(mid+1);
}
int main(){cin>>Q;while(Q--){int tp;scanf("%d",&tp);double ans;if(tp == 1){ll x;scanf("%lld",&x);++cnt;sum[cnt] = sum[cnt-1] + x;int l = 0,r = cnt-1,mid,mmid;double mean = inf,tmp;while(r - l > 2){mid = (l+r)/2;mmid = (mid+r)/2;if(check(mid,x) > check(mmid,x)) l = mid;else r = mmid;}double t = min(min(check(l,x),check(r,x)),check((l+r)/2,x));ans = x - t;}else{printf("%.10lf\n",ans);}}}

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