具体数学-第4课（多重求和方法）

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具体数学-第4课 - WeiYang Blog

今天讲了多重求和，也就是一个和式由多个下标来指定。

首先是最简单的形式：
$\sum\limits_{1 \le j,k \le n} { {a_j}{b_k}} = (\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {a_k}} )$

例题1

下面给出一个对称矩阵：
$A(i,j) = {a_i}{a_j}$
求：
$S = \sum\limits_{1 \le j \le k \le n} { {a_j}{a_k}}$
这是这个矩阵的上三角加对角线求和，因为是对称的嘛，可以补全下三角，加上对角线就行了。
$2S = \sum\limits_{1 \le j,k \le n} { {a_j}{a_k}} + \sum\limits_{1 \le j = k \le n} { {a_j}{a_k}} = {(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {a_k}} )^2} + \sum\limits_{1 \le k \le n}^{} { {a_k}^2}$
所以
$S = \frac{1}{2}({(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {a_k}} )^2} + \sum\limits_{1 \le k \le n}^{} { {a_k}^2} )$

例题2

下面再看一个例子：
$S = \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {({a_j} - {a_k})({b_j} - {b_k})}$
同样模仿上例调换 $j,k$ 位置，得到：
$\begin{array}{l}2S = \sum\limits_{1 \le j,k \le n} {({a_j} - {a_k})({b_j} - {b_k})} - \sum\limits_{1 \le j = k \le n} {({a_j} - {a_k})({b_j} - {b_k})} \\ = \sum\limits_{1 \le j,k \le n} {({a_j}{b_j} - {a_j}{b_k} - {a_k}{b_j} + {a_k}{b_k})} \\ = 2\sum\limits_{1 \le j,k \le n} { {a_j}{b_j}} - 2\sum\limits_{1 \le j,k \le n} { {a_j}{b_k}} \\ = 2n\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}{b_j}} - 2(\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {b_k}} )\end{array}$
所以
$S = n\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}{b_j}} - (\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {b_k}} )$
至此解完，然后可以推出一个著名的不等式————切比雪夫不等式：
$(\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {b_k}} ) = n\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}{b_j}} - \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {({a_j} - {a_k})({b_j} - {b_k})}$
如果
${a_1} \le {a_2} \le \cdots \le {a_n},{b_1} \le {b_2} \le \cdots \le {b_n}$
那么
$(\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {b_k}} ) \le n\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}{b_j}}$
反之如果
${a_1} \le {a_2} \le \cdots \le {a_n},{b_1} \ge {b_2} \ge \cdots \ge {b_n}$
那么
$(\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}} )(\sum\limits_{1 \le k \le n} { {b_k}} ) \ge n\sum\limits_{1 \le j \le n} { {a_j}{b_j}}$
更一般的结论，给定两个序列 $a$ 和 $b$ ，求下面式子最大值与最小值：
$\sum\limits_{k = 1}^n { {a_k}{b_{p(k)}}}$
其中 $p(k)$ 是 $\{ 1,2, \cdots ,n\}$ 的一个排列。
答案是 $b$ 增序最大，降序最小，至于为什么，下面给出两种证明方法。

方法1

如上图所示， $a$ 和 $b$ 按照递增顺序排列，每个方格的面积代表 $a_i$ 与 $b_i$ 的乘积，记为 $s_{ij}$ 。
那么上面的求和式其实就是每一行每一列都必须有且只有一块被取。
考虑第一行，如果不取 $s_{11}$ ，取其他的 $s_{1j}$ ，那么第一列也只能取其他的 $s_{i1}$ ，这样的话 $s_{ij}$ 也就取不了了。但是发现
$s_{11}+s_{ij} \ge s_{i1}+s_{1j}$
并且两种取法影响的行和列都是相同的，这说明了，取 $s_{i1}$ 和 $s_{1j}$ 不如取 $s_{11}$ 和 $s_{ij}$ 。所以 $s_{11}$ 必取，然后第一行第一列就不能取了。剩下的方阵用相同的方法可以得出必取 $s_{22}, \cdots ,s_{nn}$ ，也就是主对角线。
同理最小取法用副对角线可以推出。

方法2

设数列 $a$ 和 $b$ 非单调递减，那么有如下证明：
$\begin{array}{l}{S_k} = \sum\limits_{i = 1}^k { {b_i}} ,{ {S'}_k} = \sum\limits_{i = 1}^k { {b_{p(i)}}} \\ \Rightarrow {S_k} \le { {S'}_k}\\ \Rightarrow \\\sum\limits_{i = 1}^n { {a_i}{b_i}} = {S_1}{a_1} - {S_1}{a_2} + {S_2}{a_2} - {S_2}{a_3} + \cdots + {S_n}{a_n}\\ = \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} { {S_i}} ({a_i} - {a_{i + 1}}) + {S_n}{a_n}\\ \ge \sum\limits_{i = 1}^{n - 1} { { {S'}_i}} ({a_i} - {a_{i + 1}}) + {S_n}{a_n}\\ = \sum\limits_{i = 1}^n { {a_i}{b_{p(i)}}} \end{array}$
反之亦证。

题外话，其实切比雪夫不等式原来是以微积分形式给出的：
如果函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 非单调递减，那么有：
$(\int_a^b {f(x)dx} )(\int_a^b {g(x)dx} ) \le (b - a)(\int_a^b {f(x)g(x)dx} )$

例题3

求
$S = \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {\frac{1}{ {k - j}}}$
我将用三种方法来求解这个式子。

方法1

首先将 $j$ 和 $k$ 分开，首先计算对 $j$ 求和：
$\begin{array}{l}S = \sum\limits_{1 \le k \le n} {\sum\limits_{1 \le j < k} {\frac{1}{ {k - j}}} } \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n} {\sum\limits_{1 \le k - j < k} {\frac{1}{j}} } \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n} {\sum\limits_{0 < j \le k - 1} {\frac{1}{j}} } \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n} { {H_{k - 1}}} \\ = \sum\limits_{0 \le k < n} { {H_k}} \end{array}$

方法2

先计算对 $k$ 求和：
$\begin{array}{l}S = \sum\limits_{1 \le j \le n} {\sum\limits_{j < k \le n} {\frac{1}{ {k - j}}} } \\ = \sum\limits_{1 \le j \le n} {\sum\limits_{j < k + j \le n} {\frac{1}{k}} } \\ = \sum\limits_{1 \le j \le n} {\sum\limits_{0 < k \le n - j} {\frac{1}{k}} } \\ = \sum\limits_{1 \le j \le n} { {H_{n - j}}} \\ = \sum\limits_{0 \le j < n} { {H_j}} \end{array}$

方法3

按对角线求和：
$\begin{array}{l}S = \sum\limits_{1 \le j < k \le n} {\frac{1}{ {k - j}}} \\ = \sum\limits_{1 \le j < k + j \le n} {\frac{1}{k}} \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n} {\sum\limits_{1 \le j \le n - k} {\frac{1}{k}} } \\ = \sum\limits_{1 \le k \le n} {\frac{ {n - k}}{k}} \\ = n\sum\limits_{1 \le k \le n} {\frac{1}{k} - } \sum\limits_{1 \le k \le n} 1 \\ = n{H_n} - n\end{array}$

由此得到了一个完全不同的表示形式！
所以我们得到了：
$\sum\limits_{0 \le j < n} { {H_j}} = n{H_n} - n$

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