矩阵论及其应用_群表示论笔记（一）

前几天开始写群表示论的学习笔记，突然想能不能把笔记上传知乎，于是便试着做了。

去年开始很多同学开了个人公众号。我比较懒，而且除了这一点东西好像没什么可以分享（说一些其他的说不定会被封号2333）。目前来看是开不了公众号，知乎虽然没什么氛围（当然微信也没有），但正好可以分享我这些非常非常naive的学习笔记，我写笔记用的是texmacs,和latex等tex工具不同，因此在写latex公式的时候遇到了一些困难，有的图表索性就在texmacs里面做好了然后截图，复制和粘贴了（吐槽一下，对于我等咸鱼来说texmacs真的是比latex好用的多，根本不需要写公式）。

最近刚好看到了群表示论，并且表示论好像在其他学科应用比较多（比如化学，计算机好像也有），我看的部分不是特别难。即使是非数学系物理系的朋友也不妨看一看（虽然很可能没有人看2333），如果只是想大概看懂的话，真的不是特别难。

我的表示论笔记内容以及今后可能有的代数内容基本都是来自于Michael Artin的Algebra，知道这本书的人都应该知道这是一本对初学者很友好的书，所以我笔记的内容都是很简单的群表示，不会涉及类似于李代数的表示。之后也可能上传其他内容，比如常微分方程，微分几何，拓扑之类。群表示论需要一定前置知识，主要是群论，如果真的有人会看这个笔记（可能性极小）并且对于前置知识（比如什么是置换群

，什么是

，他们为什么同构)有问题我会考虑上传关于群的基本知识的笔记。至于这个笔记本身，其实主要是自己看的，即使没有人看，只要有时间和精力的话，我也会慢慢更新。也非常欢迎有兴趣投稿的同学分享自己的文章或者笔记（主要数学为主，可能涉及一些物理，其他学科也未尝不可）

最后，鉴于本人数学和英语水平有限，如果笔记中有错误（比如公式错误，术语翻译错误以及错别字），恳请指出。

我们将

表示为

。

基本概念和例子

同态

称为群

的一个矩阵表示。

是这个表示的维数。

下面用

表示群元素

的像，这是一个可逆复矩阵，由同态的性质可以知道:

例如，

表示为

,因此

可以被满足下列条件的矩阵

和

表示:

。

学习过群论之后，我们知道了

和

是同构的，因此我们可以用这样的矩阵来表示

(也叫

和

的标准表示）:

这个表示的维数是2

同样，

中的元素都是置换，那么我们自然可以想到把奇置换映到(-1),偶置换映到(1),把这个表示记为

,这个表示的维数是1，值得注意的是这里是元素为1和-1的1阶矩阵，应该区别其与逆序数。同样把所有元素都映到(1)也是满足条件的，并且所有群都有一个这样的矩阵表示，称为trivial representation,在这里记为T。

一个矩阵表示

的特征(character)

定义为

=trace

表格有几个很有趣的性质：首先，将其的每一列看作向量，那么所有不同的向量是相互正交的，对每一行也是这样的。我们将在之后涉及到这个性质。

关于其他简单的性质：

•

等于这个表示的维数，也叫做这个特征的维数

• 共轭等价类的特征是相同的

对于前者，

等于矩阵维数，对于后者，群共轭意味着矩阵共轭(也就是相似)，不改变trace。

下面考虑群在一个线性空间上的表示，我们将复线性空间

上所有可逆线性算子组成的群记为

，这里的线性空间假设为有限维并且不是零空间。

称如下的同态是一个群

在复线性空间

的表示:

矩阵表示可以看作是在列向量空间上的表示。

有限旋转群作用在三维欧氏空间上是不依赖于基的选取，对应的正交算子称作这个群的标准表示(和上面

确实有矛盾之处)。

适当选取V的基底

后可以给出

到

的同构。

我们由此可以定义群关于线性空间V的线性算子的作用，即等于其对应的线性算子对空间的作用。其满足线性性，结合律，加法分配律。

从表示

到表示

的同构是两个线性空间的同构：

,和

的作用是相容的，即：

对所有

中的

和

中的

都成立。同样如果

是一个同构，

和

是对应的基，那么对应的矩阵表示

和

是相等的。

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