Adam算法

Adam算法在RMSProp算法基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均 [1]。下面我们来介绍这个算法。

所以Adam算法可以看做是RMSProp算法与动量法的结合。

1. 算法

Adam算法使用了动量变量vt\boldsymbol{v}_tvt和RMSProp算法中小批量随机梯度按元素平方的指数加权移动平均变量st\boldsymbol{s}_tst，并在时间步0将它们中每个元素初始化为0。给定超参数0≤β1<10 \leq \beta_1 < 10≤β1<1（算法作者建议设为0.9），时间步ttt的动量变量vt\boldsymbol{v}_tvt即小批量随机梯度gt\boldsymbol{g}_tgt的指数加权移动平均：

vt←β1vt−1+(1−β1)gt.\boldsymbol{v}_t \leftarrow \beta_1 \boldsymbol{v}_{t-1} + (1 - \beta_1) \boldsymbol{g}_t. vt←β1vt−1+(1−β1)gt.

和RMSProp算法中一样，给定超参数0≤β2<10 \leq \beta_2 < 10≤β2<1（算法作者建议设为0.999），
将小批量随机梯度按元素平方后的项gt⊙gt\boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_tgt⊙gt做指数加权移动平均得到st\boldsymbol{s}_tst：

st←β2st−1+(1−β2)gt⊙gt.\boldsymbol{s}_t \leftarrow \beta_2 \boldsymbol{s}_{t-1} + (1 - \beta_2) \boldsymbol{g}_t \odot \boldsymbol{g}_t. st←β2st−1+(1−β2)gt⊙gt.

由于我们将v0\boldsymbol{v}_0v0和s0\boldsymbol{s}_0s0中的元素都初始化为0，
在时间步ttt我们得到vt=(1−β1)∑i=1tβ1t−igi\boldsymbol{v}_t = (1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} \boldsymbol{g}_ivt=(1−β1)∑i=1tβ1t−igi。将过去各时间步小批量随机梯度的权值相加，得到 (1−β1)∑i=1tβ1t−i=1−β1t(1-\beta_1) \sum_{i=1}^t \beta_1^{t-i} = 1 - \beta_1^t(1−β1)∑i=1tβ1t−i=1−β1t。需要注意的是，当ttt较小时，过去各时间步小批量随机梯度权值之和会较小。例如，当β1=0.9\beta_1 = 0.9β1=0.9时，v1=0.1g1\boldsymbol{v}_1 = 0.1\boldsymbol{g}_1v1=0.1g1。为了消除这样的影响，对于任意时间步ttt，我们可以将vt\boldsymbol{v}_tvt再除以1−β1t1 - \beta_1^t1−β1t，从而使过去各时间步小批量随机梯度权值之和为1。这也叫作偏差修正。在Adam算法中，我们对变量vt\boldsymbol{v}_tvt和st\boldsymbol{s}_tst均作偏差修正：

v^t←vt1−β1t,\hat{\boldsymbol{v}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{v}_t}{1 - \beta_1^t}, v^t←1−β1tvt,

s^t←st1−β2t.\hat{\boldsymbol{s}}_t \leftarrow \frac{\boldsymbol{s}_t}{1 - \beta_2^t}. s^t←1−β2tst.

接下来，Adam算法使用以上偏差修正后的变量v^t\hat{\boldsymbol{v}}_tv^t和s^t\hat{\boldsymbol{s}}_ts^t，将模型参数中每个元素的学习率通过按元素运算重新调整：

gt′←ηv^ts^t+ϵ,\boldsymbol{g}_t' \leftarrow \frac{\eta \hat{\boldsymbol{v}}_t}{\sqrt{\hat{\boldsymbol{s}}_t} + \epsilon},gt′←s^t+ϵηv^t,

其中η\etaη是学习率，ϵ\epsilonϵ是为了维持数值稳定性而添加的常数，如10−810^{-8}10−8。和AdaGrad算法、RMSProp算法以及AdaDelta算法一样，目标函数自变量中每个元素都分别拥有自己的学习率。最后，使用gt′\boldsymbol{g}_t'gt′迭代自变量：

xt←xt−1−gt′.\boldsymbol{x}_t \leftarrow \boldsymbol{x}_{t-1} - \boldsymbol{g}_t'. xt←xt−1−gt′.

2. 从零开始实现

我们按照Adam算法中的公式实现该算法。其中时间步ttt通过hyperparams参数传入adam函数。

%matplotlib inline
import math
import torch
from torch import nn
import time
import sys
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
sys.path.append("..")
import d2lzh_pytorch as d2lfeatures, labels = d2l.get_data_ch7()def init_adam_states():v_w, v_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)s_w, s_b = torch.zeros((features.shape[1], 1), dtype=torch.float32), torch.zeros(1, dtype=torch.float32)return ((v_w, s_w), (v_b, s_b))def adam(params, states, hyperparams):beta1, beta2, eps = 0.9, 0.999, 1e-6for p, (v, s) in zip(params, states):v[:] = beta1 * v + (1 - beta1) * p.grad.datas[:] = beta2 * s + (1 - beta2) * p.grad.data**2v_bias_corr = v / (1 - beta1 ** hyperparams['t'])s_bias_corr = s / (1 - beta2 ** hyperparams['t'])p.data -= hyperparams['lr'] * v_bias_corr / (torch.sqrt(s_bias_corr) + eps)hyperparams['t'] += 1

def train_2d(trainer):  x1, x2, s1, s2 = -5, -2, 0, 0  results = [(x1, x2)]for i in range(20):x1, x2, s1, s2 = trainer(x1, x2, s1, s2)results.append((x1, x2))print('epoch %d, x1 %f, x2 %f' % (i + 1, x1, x2))return results

def show_trace_2d(f, results):  plt.plot(*zip(*results), '-o', color='#ff7f0e')x1, x2 = np.meshgrid(np.arange(-5.5, 1.0, 0.1), np.arange(-3.0, 1.0, 0.1))plt.contour(x1, x2, f(x1, x2), colors='#1f77b4')plt.xlabel('x1')plt.ylabel('x2')

定义训练模型

def linreg(X, w, b):return torch.mm(X, w) + bdef squared_loss(y_hat, y): # 注意这里返回的是向量, 另外, pytorch里的MSELoss并没有除以 2return ((y_hat - y.view(y_hat.size())) ** 2) / 2

def train_ch7(optimizer_fn, states, hyperparams, features, labels,batch_size=10, num_epochs=2):# 初始化模型net, loss = linreg, squared_lossw = torch.nn.Parameter(torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, size=(features.shape[1], 1)), dtype=torch.float32),requires_grad=True)b = torch.nn.Parameter(torch.zeros(1, dtype=torch.float32), requires_grad=True)def eval_loss():return loss(net(features, w, b), labels).mean().item()ls = [eval_loss()]data_iter = torch.utils.data.DataLoader(torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)for _ in range(num_epochs):start = time.time()for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):l = loss(net(X, w, b), y).mean()  # 使用平均损失# 梯度清零if w.grad is not None:w.grad.data.zero_()b.grad.data.zero_()l.backward()optimizer_fn([w, b], states, hyperparams)  # 迭代模型参数if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:ls.append(eval_loss())  # 每100个样本记录下当前训练误差# 打印结果和作图print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)plt.xlabel('epoch')plt.ylabel('loss')

使用学习率为0.01的Adam算法来训练模型。

train_ch7(adam, init_adam_states(), {'lr': 0.01, 't': 1}, features, labels)

输出：

loss: 0.245370, 0.065155 sec per epoch

3. 简洁实现

通过名称为“Adam”的优化器实例，我们便可使用PyTorch提供的Adam算法。

def train_pytorch_ch7(optimizer_fn, optimizer_hyperparams, features, labels,batch_size=10, num_epochs=2):# 初始化模型net = nn.Sequential(nn.Linear(features.shape[-1], 1))loss = nn.MSELoss()optimizer = optimizer_fn(net.parameters(), **optimizer_hyperparams)def eval_loss():return loss(net(features).view(-1), labels).item() / 2ls = [eval_loss()]data_iter = torch.utils.data.DataLoader(torch.utils.data.TensorDataset(features, labels), batch_size, shuffle=True)for _ in range(num_epochs):start = time.time()for batch_i, (X, y) in enumerate(data_iter):# 除以2是为了和train_ch7保持一致, 因为squared_loss中除了2l = loss(net(X).view(-1), y) / 2 optimizer.zero_grad()l.backward()optimizer.step()if (batch_i + 1) * batch_size % 100 == 0:ls.append(eval_loss())# 打印结果和作图print('loss: %f, %f sec per epoch' % (ls[-1], time.time() - start))plt.plot(np.linspace(0, num_epochs, len(ls)), ls)plt.xlabel('epoch')plt.ylabel('loss')

d2l.train_pytorch_ch7(torch.optim.Adam, {'lr': 0.01}, features, labels)

输出：

loss: 0.242066, 0.056867 sec per epoch

小结

Adam算法在RMSProp算法的基础上对小批量随机梯度也做了指数加权移动平均。
Adam算法使用了偏差修正。

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pytorch学习笔记（三十七）：Adam

文章目录

Adam算法

1. 算法

2. 从零开始实现

3. 简洁实现

小结

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