1. 二维空间中的旋转

假设平面内任意一点的坐标是（x,y），绕坐标原点逆时针旋转的角度是 θ，旋转后的坐标（x^\hat xx^,y^\hat yy^），有以下几种方法来计算旋转后的坐标：

1.1 旋转矩阵

1.2 复数坐标

2. 三维空间中的旋转

2.1 旋转矩阵

按照右手螺旋法则，拇指指向轴的方向，其它指头的方向即为旋转方向。绕每个轴旋转的旋转矩阵分别为：

如果可以将一个旋转分解为绕三个轴分别旋转的效果的叠加，则旋转后的坐标为：

2.2 四元数（quaternion）

虽然任意一个旋转都可以转换为绕xyz三个轴的旋转，但这个转换可能不是很方便。很多情况下，希望知道如何计算绕任意轴旋转任意角度的问题。这个时候，四元组就很方便。

内容可参考：
https://eater.net/quaternions
https://link.zhihu.com/?target=https%3A//www.youtube.com/watch%3Fv%3DzjMuIxRvygQ

https://blog.csdn.net/MOU_IT/article/details/80369043?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.nonecase&depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task-blog-BlogCommendFromMachineLearnPai2-2.nonecase
四元数介绍：

四元数表示姿态矩阵：
个坐标系到另一个坐标系的旋转，除了可以分解为绕坐标系中的Z轴、Y轴、X轴旋转三次得到外，旋转的一个神奇之处就在于，三维空间的任意旋转，都可以用绕三维空间的某个轴旋转过某个角度来表示，即所谓的Axis-Angle表示方法。这种表示方法里，Axis可用一个三维向量(x,y,z)来表示，θ可以用一个角度值来表示，直观来讲，一个四维向量(θ,x,y,z)就可以表示出三维空间任意的旋转。注意，这里的三维向量(x,y,z)只是用来表示axis的方向朝向，因此更紧凑的表示方式是用一个单位向量来表示方向axis，而用该三维向量的长度来表示角度值θ。这样以来，可以用一个三维向量(θx, θy, θ*z)就可以表示出三维空间任意的旋转，前提是其中(x,y,z)是单位向量。这就是旋转向量(Rotation Vector)的表示方式。

Axis-Angle的表示方法还可以推导出另一种很常用的三维旋转表示方法，叫四元数(Quaternion)，具体的证明参考秦永元的《惯性导航》。同上，假设(x,y,z)是axis方向的单位向量，θ是绕axis转过的角度，那么四元数可以表示为[cos(θ/2), xsin(θ/2), ysin(θ/2), z*sin(θ/2)]。注意，这里可以推导出，用于表示旋转的四元数向量也必须是单位向量。四元数的神奇之处在于，对于三维坐标的旋转，可以通过四元数乘法直接操作，与上述旋转矩阵操作可以等价，但是表示方式更加紧凑，计算量也可以小一些。捷联惯导中的姿态更新实质上是如何计算四元数Q。

其中R代表地理坐标系，b代表机体坐标系，u是R系中一个旋转向量（单位向量），机体绕着这个旋转向量旋转，θ表示转过的角度。

这就是用四元数表示姿态矩阵

参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/86387799

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