5x2cv配对t检验(5x2cv paired t test)

5x2cv配对t检验程序，用于比较两个模型的性能

from mlxtend.evaluate import paired_ttest_5x2cv

概述

5x2cv配对t检验(5x2cv paired t test)是一种比较两个模型（分类器或回归器）性能的程序，Dieterich[1]提出了这两个模型，以解决其他方法的缺点，如重抽样配对t检验（参见配对t检验: paired_ttest_resampled）和 k倍交叉验证配对t检验（参见配对t检验: paired_ttest_kfold_cv）。

为了解释这种方法是如何工作的，让我们考虑估计量（例如，分类器）A和B。此外，我们有一个标记数据集D。在公共保持方法中，我们通常将数据集分成2个部分：训练和测试集。在5x2cv配对t检验(5x2cv paired t test)中，我们重复切分（50%训练和50%测试数据）5次。

在5个迭代中的每一个迭代中，我们将A和B拟合到训练分割中，并在测试分割中评估它们的性能（ pAp_ApA 和 pBp_BpB）。然后，我们旋转训练集和测试集（训练集成为测试集，反之亦然）再次计算性能，这导致两个性能差异度量：
p(1)=pA(1)−pB(1)p^{(1)} = p^{(1)}_A - p^{(1)}_B p(1)=pA(1)−pB(1)
和
p(2)=pA(2)−pB(2).p^{(2)} = p^{(2)}_A - p^{(2)}_B. p(2)=pA(2)−pB(2).
然后，我们估计差异的估计均值和方差：
p‾=p(1)+p(2)2\overline{p} = \frac{p^{(1)} + p^{(2)}}{2} p=2p(1)+p(2)
和
s2=(p(1)−p‾)2+(p(2)−p‾)2.s^2 = (p^{(1)} - \overline{p})^2 + (p^{(2)} - \overline{p})^2. s2=(p(1)−p)2+(p(2)−p)2.
计算5次迭代的差异方差，然后用于计算 t统计量(t statistic)，如下所示：
t=p1(1)(1/5)∑i=15si2,t = \frac{p_1^{(1)}}{\sqrt{(1/5) \sum_{i=1}^{5}s_i^2}}, t=(1/5)∑i=15si2p1(1),
其中 p1(1)p_1^{(1)}p1(1) 是第一次迭代的 p1p_1p1。t 统计量(t statistic) 为在模型A 和模型B 具有相同性能的零假设下，假设它近似遵循5个自由度的t分布(t distribution)。使用t统计量，可以计算 ppp 值，并与之前选择的显著性水平进行比较，例如，α=0.05α=0.05α=0.05。如果 ppp 值小于 ααα，我们拒绝零假设，并接受两个模型存在显著差异。

References

[1] Dietterich TG (1998) Approximate Statistical Tests for Comparing Supervised Classification Learning Algorithms. Neural Comput 10:1895–1923.

例1-5x2cv配对t检验(5x2cv paired t test)

假设我们想要比较两种分类算法，逻辑回归和决策树算法：

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.tree import DecisionTreeClassifier
from mlxtend.data import iris_data
from sklearn.model_selection import train_test_splitX, y = iris_data()
clf1 = LogisticRegression(random_state=1)
clf2 = DecisionTreeClassifier(random_state=1)X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.25, random_state=123)score1 = clf1.fit(X_train, y_train).score(X_test, y_test)
score2 = clf2.fit(X_train, y_train).score(X_test, y_test)print('Logistic regression accuracy: %.2f%%' % (score1*100))
print('Decision tree accuracy: %.2f%%' % (score2*100))

Logistic regression accuracy: 97.37%
Decision tree accuracy: 94.74%

请注意，由于在重采样过程中产生了新的测试/训练分离，这些精度值不用于配对t测试程序，上述值仅用于直觉。

现在，我们假设显著性阈值 α=0.05α=0.05α=0.05，以拒绝两种算法在数据集上表现相同的无效假设，并进行5x2cv t检验(5x2cv t test)：

from mlxtend.evaluate import paired_ttest_5x2cvt, p = paired_ttest_5x2cv(estimator1=clf1,estimator2=clf2,X=X, y=y,random_seed=1)print('t statistic: %.3f' % t)
print('p value: %.3f' % p)

t statistic: -1.539
p value: 0.184

由于 p>αp > \alphap>α，我们不能拒绝零假设，并且可以得出结论，两种算法的性能没有显著差异。

虽然通常不建议在不纠正多个假设测试的情况下多次应用统计测试，但让我们来看一个示例，其中决策树算法仅限于生成一个非常简单的决策边界，这将导致相对较差的性能：

clf2 = DecisionTreeClassifier(random_state=1, max_depth=1)score2 = clf2.fit(X_train, y_train).score(X_test, y_test)
print('Decision tree accuracy: %.2f%%' % (score2*100))t, p = paired_ttest_5x2cv(estimator1=clf1,estimator2=clf2,X=X, y=y,random_seed=1)print('t statistic: %.3f' % t)
print('p value: %.3f' % p)

Decision tree accuracy: 63.16%
t statistic: 5.386
p value: 0.003

假设我们在显著性水平 α=0.05α=0.05α=0.05 的情况下进行了该测试，我们可以拒绝两个模型在该数据集上表现相同的无效假设，因为 ppp 值（p<0.001p<0.001p<0.001）小于 ααα。

API

paired_ttest_5x2cv(estimator1, estimator2, X, y, scoring=None, random_seed=None)

实施Dieterrich（1998）提出的5x2cv配对t检验，以比较两个模型的性能。

Parameters

estimator1 : scikit-learn classifier or regressor
estimator2 : scikit-learn classifier or regressor
X : {array-like, sparse matrix}, shape = [n_samples, n_features]

Training vectors, where n_samples is the number of samples and n_features is the number of features.
y : array-like, shape = [n_samples]

Target values.
scoring : str, callable, or None (default: None)

If None (default), uses ‘accuracy’ for sklearn classifiers and ‘r2’ for sklearn regressors. If str, uses a sklearn scoring metric string identifier, for example {accuracy, f1, precision, recall, roc_auc} for classifiers, {‘mean_absolute_error’, ‘mean_squared_error’/‘neg_mean_squared_error’, ‘median_absolute_error’, ‘r2’} for regressors. If a callable object or function is provided, it has to be conform with sklearn’s signature scorer(estimator, X, y); see http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.metrics.make_scorer.html for more information.

如果没有（默认），则对sklearn分类器使用“准确性”，对sklearn回归器使用“r2”。如果str使用sklearn评分度量字符串标识符，例如{accurity，f1，precision，recall，roc_auc}作为分类器，{‘mean_absolute_error’，‘mean_squared_error’/‘neg_mean_squared_error’，‘median_absolute_error’，‘r2’}作为回归器。如果提供了一个可调用的对象或函数，它必须符合sklearn的签名“scorer（estimator，X，y）”；看见http://scikit-learn.org/stable/modules/generated/sklearn.metrics.make_scorer.html了解更多信息。
random_seed : int or None (default: None)

Random seed for creating the test/train splits.

用于创建测试/训练切分的随机种子。

Returns

t : float

The t-statistic
pvalue : float

Two-tailed p-value. If the chosen significance level is larger than the p-value, we reject the null hypothesis and accept that there are significant differences in the two compared models.

双尾p值。如果选择的显著性水平大于 ppp 值，我们拒绝零假设，并接受两个比较模型存在显著差异。

Examples

For usage examples, please see http://rasbt.github.io/mlxtend/user_guide/evaluate/paired_ttest_5x2cv/

reference

@online{Raschka2021Sep,
author = {Raschka, S.},
title = {{5x2cv paired t test - mlxtend}},
year = {2021},
month = {9},
date = {2021-09-03},
urldate = {2022-03-10},
language = {english},
hyphenation = {english},
note = {[Online; accessed 10. Mar. 2022]},
url = {http://rasbt.github.io/mlxtend/user_guide/evaluate/paired_ttest_5x2cv},
abstract = {{A library consisting of useful tools and extensions for the day-to-day data science tasks.}}
}