北京理工大学-管理运筹学（国家级精品课）_哔哩哔哩_bilibili

| 单纯形法Simplex algorithm

单纯形法的基本思路（原则）：

首先，[[运筹学#初始可行解的确定办法：|确定一个初始的基本可行解]]。验证该解[[运筹学#最优解的检验办法：|是否为最优解]]，如果是，则可以结束算法；如果不是，判断问题是否存在最优解。如果不存在，结束算法；如果存在，确定一个[[运筹学#更优解的确定：|更优的基本可行解]]，反复迭代找到最优解。

初始可行解的确定办法：

在线性规划问题的系数矩阵中，寻找单位矩阵，称为基。单位矩阵每列对应的变量为基变量，除单位矩阵外其他列对应的变量为非基变量。使非基变量为0，得到的解称为基本解。

满足变量非负约束条件的基本解即为基本可行解。

最优解的检验办法：

使用检验系数σ\sigmaσ进行判断，如果所有非基变量的检验系数都为负数，则当前解为最优解。其原理为，通过变换，基变量可以表示为非基变量的组合，将其代入目标函数中，可以化为一常量加上非基变量的检验系数乘以对应非基变量。检验系数为负的情况下，当且仅当所有非基变量为0时，目标函数可以达到最大。

更优解的确定：

入基变量确定：

检验系数大于零中最大的非基变量为入基变量。

出基变量确定：

确定入基变量之后，将对应的系数除常量，选取最小的基变量作为出基变量。

大M法big M method：

通过为线性规划问题添加人工变量求得初始基本可行解，并通过使人工变量的目标函数系数为无穷大常数使得最后求得的解中人工变量为0。

两阶段法two-phase method：

通过为线性规划问题添加人工变量，得到第一阶段的问题，其目标为使得人工变量相反数之和最大。求解第一阶段问题可以得到原问题的初始基本可行解。第二阶段为在这一基本可行解的基础上使用单纯性表法迭代求解原问题。

几种特殊情况：

（1）线性规划问题无解：单纯性表法得到最优解之后，人工变量仍然为基变量，且解大于0。
（2）线性规划问题有无穷多组解：单纯性表法得到最优解之后，除基变量检验数为0外，存在非基变量的检验数为0。
（3）线性规划问题有无界解：单纯性表法迭代过程中，入基变量对应的列均有系数小于0，无法确定出基变量。
（4）线性规划问题有退化解：在单纯形表法迭代过程中有基变量的解为0。退化解会降低单纯形表法求解的效率，但也能得到最优解。

Lagrange dual problem原问题和对偶问题的相互转化：

Max问题的约束条件要化为小于等于或等于的形式，变量要大于0或无约束。

对应min问题约束条件为大于等于（变量无约束）的形式，变量为大于0或无约束（约束条件为等号）。

弱对偶性：

对于原问题（max）和对偶问题（min）的可行解，都有原问题目标函数值小于等于对偶问题，当对应解为最优解时，两值相等。

根据弱对偶性：

(1) 原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；对偶问题任一可行解的目标函数值是其原问题目标函数值的上界；

(2)原问题有可行解且具有无界解，对偶问题无可行解；对偶问题有可行解且具有无界解，原问题无可行解；

(3)原问题有可行解而对偶问题无可行解，则原问题有无界解；对偶问题有可行解而原问题无可行解，则对偶问题有无界解。

强对偶性：

若原问题和对偶问题都有可行解，则两者都有最优解，且两者最优值相等。

互补松弛定理：

线性规划取最优解时，若对应某一约束条件的对偶变量≠0，该约束严格取=；若约束条件取严格不等式，其对应的对偶变量一定=0。

应用：

带入对偶问题的解求得对偶问题取严格不等式的约束，原问题对应变量为0。由对偶问题的解不等于0，得到原问题的对应约束为严格等式。

对偶单纯形法Dual Simplex Method：

在保持原有问题所有检验数小于等于0的情况下，通过迭代使所有约束条件常数大于等于0，最后求得最优解。

原单纯形法：

在保持原有问题所有约束条件常数大于等于0的情况下，通过迭代使所有检验数小于等于0，最后求得最优解。

主要用于灵敏度分析。

| 运输问题transportation problem

**运输问题：常规问题是求解产销平衡条件下的运输费用最小问题。

对于运输路线的能力约束，可以添加等式或不等式约束。

对于产销不平衡的情况，可以通过加入假想的产地和销地进行求解。

产销平衡与运价表：对于产销不平衡的情况，通过将销地的产品需求分为刚性和柔性，并加入假想的产地，刚性需求全部由实际产地满足，柔性需求全部由假想产地满足。处理过后可以生成产销平衡的运输需求和运价表。

运输问题表上作业法：

本质是单纯形法，首先找出一个基本可行解（基变量的数量为m+n-1），若非基变量的检验数大于等于0【求最小值】，若存在非基变量的检验数等于0，则该问题有多个最优解，若不存在，则该问题只有一个最优解。若非基变量的检验数存在小于0的情况，使用闭回路法调整方案进行迭代。

初始基本可行解的确定：

西北角法

最小元素法

最优解的判别：

闭回路法：从非基变量的空格出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到基变量的格才能垂直拐弯（或穿过），直至回到发点，形成的封闭折线为闭回路。一个空格存在唯一的闭回路。

对闭回路各顶点进行编号，非基变量（编号为1）调运量增加1，并对闭回路上顶点的调运量增加1（奇数顶点）或减少1（偶数顶点），以保持产销平衡。

非基变量检验数：调整运输方案引起费用的变化。

位势法：对运输表上每一行赋予数值uiu_iui，每一列赋予数值vjv_jvj。基变量的检验数ci,j−ui−vj=0c_{i,j}-u_i-v_j=0ci,j−ui−vj=0。

非基变量的检验数：ci,j−ui−vjc_{i,j}-u_i-v_jci,j−ui−vj。

特殊情况：存在非基变量的检验数等于0，则该问题有多个最优解。

| 整数规划integer programming

纯整数规划问题：所有变量均为非负整数

0-1规划：变量的取值只限0和1

混合整数规划问题：部分变量为非负整数

固定成本问题、指派问题

分枝定界法：branch and bound

先将整数规划化为线性规划问题，若线性规划无可行解，那么对应的整数规划也无可行解。若有，求解线性规划，若求得的最优解为整数解，结束算法，若不是整数解，确定整数规划问题的上界和下界，对线性规划进行分枝、剪枝。

分枝变量的选取：离最近的整数最远的变量。

0-1规划：穷举法、隐枚举法（检查全部变量组合的一部分，求得问题的最优解）

分枝定界法也是一种隐枚举法。

指派问题匈牙利算法：

| 动态规划Dynamic programming

前述问题都属于静态规划问题，一次性处理所有的决策变量。多阶段决策问题将问题划分为相互联系的多个阶段，需要在每一个阶段进行决策以求得最终的最优解。

可以解决管理中的问题：最短路问题、装载问题、库存问题、资源分配问题、生产过程最优化问题等。

可以分为：离散确定性决策过程、离散随机性决策过程、连续确定性决策过程、连续随机性决策过程。（状态是离散的还是连续的，状态转移是确定的还是随机的）

不是一种算法，是一种方法。

最优化原理：作为整个过程的最优策略具有如下性质：不管在此最优策略的某个状态以前的状态决策如何，对于该状态来说，以后的所有决策一定构成最优子策略。最优策略的子策略都是最优的。

| 图与网络

最短路算法

Dijkstra【只能求得两点之间的最短路】：需要三个数组dist，path和set，，分别代表从起点到该点的最短路长度，最短路的前向顶点下标和是否被纳入最短路。

从vs出发，逐步地向外探寻最短路。

Floyd【可以求得网络中任意两点之间的最短路】：需要两个数组A和path，分别代表顶点对之间最短路径和需经过的点。

对于每个顶点v，和任一顶点对（i,j），i≠j，v≠i，v≠j，如果A[i][j]>A[i][v]+A[v][j]，则将A[i][j]更新为A[i][v]+A[v][j]的值，并且将Path[i][j]改为v。

最短路径Floyd算法_哔哩哔哩_bilibili

最大流问题

13-2: Ford-Fulkerson Algorithm 寻找网络最大流_哔哩哔哩_bilibili

Naïve算法【不一定能找到最大流】：

从网络中得到residual graph。首先，找到一条从起点到终点的简单路径，将该路径的流量设为路径中瓶颈路段的容量；从网络中删除已饱和的路径；从新的网络中找到从起点到终点的简单路径，再次循环，直到不存在从起点到终点的简单路径为止。

Ford-Fulkerson算法【一定能找到最大流】：

从网络中得到residual graph。首先，找到一条从起点到终点的简单路径，将该路径的流量设为路径中瓶颈路段的容量；从网络中删除已饱和的路径；添加一条反向路径（即允许撤回决定）；循环上述步骤直到无法找到从起点到终点的简单路径，结束算法后去除全部方向路径。

| 排队论queuing theory

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运筹学-17-1-排队论-排队现象和特征_哔哩哔哩_bilibili

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