快排两种实现及五种优化

快速排序是一个优秀的排序算法，O(n²)和Ω(nlgn)，期望运行时间：θ(nlgn)且常数因子较小。

快排运用了分治的思想：

分：将数组划分成两部分（核心，partition）

治：递归地对划分地两个子数组进行排序

合并：无需合并，因为快排是直接在数组内部进行元素交换的

以下给出Partition的几种实现方法和优化方法：

【实现一】（标准版）

①选取首元素或尾元素为主元（pivot）

②从前往后遍历，遇到不比自己大的元素就把它移到前面（同时把大的移到后面）

③将pivot与A[q]交换

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
using namespace std;void quickSort(int a[], int low, int high);int a[10] = {5,2,1,5,6,3,9,0,3,8}; int main()
{srand(time(NULL));quickSort(a,0,9);for(int i=0; i<10; ++i)cout<<a[i]<<' ';return 0;
}void quickSort(int a[], int low, int high)
{if(low >= high) return;int i = low - 1;int j = rand() % (high - low + 1) + low;swap(a[high], a[j]);int flag = a[high];for(int j = low; j < high; ++j)if(a[j] <= flag)swap(a[++i], a[j]);swap(a[++i], a[high]);quickSort(a, low, i-1);quickSort(a, i+1, high);
}

【实现二】（Hoare划分）

①分别从前面和后面开始遍历找到一个不比主元小的数a和b，交换a和b

②一直循环到整个数组被遍历

注：最后子数组A的元素全部小于等于子数组B的元素

【优化一】（随机化快排）

方法：随机选取元素与首（尾）元素交换，然后选取首（尾）元素为pivot

意义：加强随机性，使得其成为一个真正的随机化算法，即使在元素全部逆序的情况下也能保持Θ(nlgn)的速度

【优化二】（与插入排序结合）

方法：当n≤k(可能为500)时候，改用插入排序（O(n)~O(n²)）

意义：减少递归的次数，且当数组"几乎有序"时，插入排序较快

【优化三】（针对元素值相同的快速排序）

方法：

①先把比pivot(A[1])小的放到前面（A[2...q]）

②从q+1找和pivot相等的元素，跳过

③从数组尾向前遍历，将与pivot相等的元素转移到中间

意义：避免较多元素相等时导致复杂度骤增为θ(n²)

缺点：增加了比较的次数

pivot_t partition(int A[], int p, int r) {int x = A[r - 1],q = p,t,tmp;for (int i = p; i < r - 1; i++) {if (A[i] < x) {EXCHANGE(A[q], A[i]);q++;}}for (t = q; t < r && A[t] == x; t++);for (int i = r - 1; i >= t; i--) {if (A[i] == x) {EXCHANGE(A[t], A[i]);t++;}}pivot_t result = {q, t};return result;
}

【优化四】（尾递归技术）

方法：将对右数组的递归调用转化为一个循环结构

意义：（不太清楚，好像是减少下栈深度）

TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, p, r)while p < r// Partition and sort left subarrayq = PARTITION(A, p, r)TAIL-RECURSIVE-QUICKSORT(A, p, q - 1)p = q + 1

【优化五】（三数取中划分）

方法：取三个数的中位数作为pivot

意义：增大"好的划分"的概率

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