罗德里格旋转公式推导
\qquad 三维空间中的某一矢量 r r r绕另一单位矢量 u u u转动 ϕ ( 设 ϕ ≥ 0 ) \phi(设\phi\ge0) ϕ(设ϕ≥0)角度，得到矢量 r ′ r' r′，下图为转动前后两矢量 r r r与 r ′ r' r′之间的几何关系。
\qquad 假设矢量 r r r与 r ′ r' r′具有共同的起点 O O O，且 r r r的矢量端点 A A A在 u u u方向上的投影为 O ′ O' O′。若以 O ′ O' O′为圆心， O ′ A O'A O′A为半径做圆，则 r ′ r' r′的矢量端点 A ′ A' A′也在该圆周上。在圆上取一点 B B B使得 O ′ B ⊥ O ′ A O'B\perp O'A O′B⊥O′A,则有: O ′ B → = u × r (1) \overrightarrow{O'B}=u\times r \tag{1} O′B =u×r(1) O O ′ → = ( r ⋅ u ) u (2) \overrightarrow{OO'}=(r\cdot u)u \tag{2} OO′ =(r⋅u)u(2) O ′ A → = O A → − O O ′ → = r − ( r ⋅ u ) u (3) \overrightarrow{O'A}= \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OO'}=r-(r\cdot u)u\tag{3} O′A =OA −OO′ =r−(r⋅u)u(3) \qquad 转动前的矢量 r r r相对于单位矢量 u u u可分解为平行于 u u u的分量 r ∥ r_{\parallel} r∥和垂直于单位矢量 u u u的分量 r ⊥ r_{\perp} r⊥，如下: r = O A → = O O ′ → + O ′ A → = r ∥ + r ⊥ (4) r=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A}=r_{\parallel}+r_{\perp} \tag{4} r=OA =OO′ +O′A =r∥+r⊥(4) \qquad 其中 r ∥ = O O ′ → = ( r ⋅ u ) u (5) r_{\parallel}=\overrightarrow{OO'}=(r\cdot u)u \tag{5} r∥=OO′ =(r⋅u)u(5) r ⊥ = O ′ A → = O ′ B → × u = r − ( r ⋅ u ) u = ( u × r ) × u (6) r_{\perp}=\overrightarrow{O'A}=\overrightarrow{O'B}\times u =r-(r\cdot u)u=(u \times r)\times u\tag{6} r⊥=O′A =O′B ×u=r−(r⋅u)u=(u×r)×u(6) \qquad 转动后的矢量 r ′ r' r′相对于单位矢量 u u u可分解为平行于 u u u的分量 r ∥ ′ r'_{\parallel} r∥′和垂直于单位矢量 u u u的分量 r ⊥ ′ r'_{\perp} r⊥′，有: r ′ = O O ′ → + O ′ A → 即 r ′ = r ∥ ′ + r ⊥ ′ (7) r'= \overrightarrow{OO'}+\overrightarrow{O'A}\ 即 r'=r'_{\parallel}+r'_{\perp}\tag{7} r′=OO′ +O′A 即r′=r∥′+r⊥′(7) \qquad 其中 r ∥ ′ = r ∥ (8) r'_{\parallel}=r_{\parallel}\tag{8} r∥′=r∥(8) r ⊥ ′ = O ′ A → c o s ϕ + O ′ B → s i n ϕ (9) r'_{\perp}= \overrightarrow{O'A}cos\phi+\overrightarrow{O'B}sin\phi \tag{9} r⊥′=O′A cosϕ+O′B sinϕ(9) \qquad 将式(3)和式(9)带入式(7)得: r ′ = O O ′ → + O ′ A → c o s ϕ + O ′ B → s i n ϕ = ( r ⋅ u ) u + ( r − ( r ⋅ u ) u ) c o s ϕ + u × r s i n ϕ = r c o s ϕ + ( 1 − c o s ϕ ) ( r ⋅ u ) u + u × r s i n ϕ = ( c o s ϕ + ( u × ) s i n ϕ ) r + ( 1 − c o s ϕ ) ( r ⋅ u ) u (10) \begin{aligned} r'&=\overrightarrow{OO'} +\overrightarrow{O'A}cos\phi+\overrightarrow{O'B}sin\phi \\&=(r\cdot u)u+(r-(r\cdot u)u)cos\phi+u \times rsin\phi \\&=rcos\phi+(1-cos\phi)(r\cdot u)u+u \times rsin\phi \\&=(cos\phi+(u\times)sin\phi)r+(1-cos\phi) (r\cdot u)u\end{aligned}\tag{10} r′=OO′ +O′A cosϕ+O′B sinϕ=(r⋅u)u+(r−(r⋅u)u)cosϕ+u×rsinϕ=rcosϕ+(1−cosϕ)(r⋅u)u+u×rsinϕ=(cosϕ+(u×)sinϕ)r+(1−cosϕ)(r⋅u)u(10) \qquad 已知三重矢量叉乘公式: V 1 × ( V 2 × V 3 ) = ( V 1 ⋅ V 3 ) V 2 − ( V 1 ⋅ V 2 ) V 3 (11) V_1\times (V_2\times V_3)=(V_1\cdot V_3)V_2-(V_1\cdot V_2)V_3 \tag{11} V1×(V2×V3)=(V1⋅V3)V2−(V1⋅V2)V3(11) \qquad 设 V 1 = V 2 = u , V 3 = r V_1=V_2=u,V_3=r V1=V2=u,V3=r，则有： ( r ⋅ u ) u = ( u ⋅ r ) u = u × ( u × r ) + ∣ u ∣ 2 r = [ ( u × ) 2 + I ] r (12) (r\cdot u)u=(u\cdot r)u=u\times(u \times r)+|u|^2r=[(u\times)^2+I]r \tag{12} (r⋅u)u=(u⋅r)u=u×(u×r)+∣u∣2r=[(u×)2+I]r(12) \qquad 将式(12)带入式(10)得: r ′ = ( c o s ϕ + ( u × ) s i n ϕ ) r + ( 1 − c o s ϕ ) ( r ⋅ u ) u = ( c o s ϕ + ( u × ) s i n ϕ ) r + ( 1 − c o s ϕ ) [ ( u × ) 2 + I ] r = [ I + ( u × ) s i n ϕ + ( 1 − c o s ϕ ) ( u × ) 2 ] r (13) \begin{aligned}r'&=(cos\phi+(u\times)sin\phi)r+(1-cos\phi) (r\cdot u)u \\ &=(cos\phi+(u\times)sin\phi)r+(1-cos\phi)[(u\times)^2+I]r \\&= [I+(u\times)sin\phi+(1-cos\phi)(u\times)^2]r \end{aligned} \tag{13} r′=(cosϕ+(u×)sinϕ)r+(1−cosϕ)(r⋅u)u=(cosϕ+(u×)sinϕ)r+(1−cosϕ)[(u×)2+I]r=[I+(u×)sinϕ+(1−cosϕ)(u×)2]r(13) \qquad 记 D = [ I + ( u × ) s i n ϕ + ( 1 − c o s ϕ ) ( u × ) 2 ] (14) D=[I+(u\times)sin\phi+(1-cos\phi)(u\times)^2] \tag{14} D=[I+(u×)sinϕ+(1−cosϕ)(u×)2](14) \qquad r ′ r' r′可写作 r ′ = D r (15) r'=Dr \tag{15} r′=Dr(15) \qquad 即罗德里格 ( R o d r i g u e s ) (Rodrigues) (Rodrigues)旋转公式，它建立了转动前后两个矢量 r r r与 r ′ r' r′之间的线性变换关系。有了罗德里格旋转公式我们可以利用一个单位矢量表示旋转方向，加上旋转角度即可描述空间中的刚体旋转。
参考文献
[1] 朱家海. 惯性导航[M]. 北京:国防工业出版社,2008.
[2] 严恭敏, 翁浚. 捷联惯导算法与组合导航原理[M]. 西安:西北工业大学出版社, 2020.
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