【线性系统】五、稳定性

线性系统总能被分解成零输入响应和零状态响应。通常我们分开来研究这两种响应的稳定性。

对于零状态响应（zero state），我们有BIBO(bounded-input bounded-output)稳定。

对于零输入响应（zero input），我们有边缘稳定(marginal)和近似稳定(asymptotic)。

BIBO稳定

一个SISO LTI 因果系统可被表示为：（初始状态 $t=0$ 下relaxed）

$y(t) = \int_{t}^{0}g(t-\tau)u(\tau)d\tau = \int_{t}^{0}g(\tau)u(t-\tau)d\tau$ （1）

其中 $g(t)$ 为脉冲响应。

BIBO稳定：对于零状态响应，所有有界输入都会变成有界输出。

定理一：

一个SISO系统被描述为BIBO稳定，当且仅当 $g(t)$ 在 $[0,\infty)$ 为绝对可积的，或者：

$\int_{0}^{\infty} \left | g(t) \right |dt \leqslant M< \infty$

定理二：

如果系统响应 $g(t)$ 是BIBO稳定的，那么当 $t\rightarrow \infty$ :

1. 输入为 $u(t) = a$ 产生的输出，对所有 $t\geq 0$ 接近 $\hat{g}(0)\cdot a$ ;

2.输入为 $u(t) = sin\omega _0t$ 产生的输出，对所有的 $t\geq 0$ 接近 $\left | \hat{g}(j\omega _0) \right |sin(\omega_0t+\measuredangle \hat g(j\omega_0))$ ，

其中 $\hat g(s)$ 是 $g(t)$ 的拉普拉斯变换， $\hat g(s) = \int_{0}^{\infty}g(\tau)e^{-s\tau}d\tau$ 。

定理三：

一个有有理转移函数 $\hat g(s)$ SISO系统是BIBO 稳定当且仅当 $\hat g(s)$ 的每个极点有负实部或者在左半 $s$ 平面。

例一：
一个正反馈系统的脉冲响应为 $g(t) = \sum_{i = 1} ^{\infty} a^i \delta (t-i)$ ， $a$ 可以为正或负。我们有：

$\left | g(t) \right |= \sum_{i = 1} ^{\infty} \left | a \right |^i \delta (t-i)$ 且 $\int_{0}^{\infty} \left| g(t) \right |dt = \sum_{i=1}^{\infty} \left|a\right|^i = \begin{cases} \infty & \text{ if } \left|a\right|\geq 1\\ |/(1-\left|a\right|) <\infty& \text{ if } \left|a\right|< 1 \end{cases}$

推广：

多变量系统；

定理一：每个脉冲响应在 $[0,\infty)$ 都绝对可积.

定理三： $\hat g(s)$ 的每个极点有负实部或者在左半 $s$ 平面。

例二：

有状态方程：

$\dot x (t) = x(t) + 0\cdot u(t)$ ， $y(t) = 0.5x(t)+0.5u(t)$

转移函数： $\hat g(s) = 0.5(s-1)^(-1)\cdot 0 +0.5 = 0.5$

所以它是BIBO稳定。

离散系统：

一个SISO系统被描述为：

$y[k] = \sum g[k-m]u[m] = \sum_{m=0}^{k}g[m]u[k-m]$

定理一：一个离散系统当且仅当 $g[k]$ 在 $[0,\infty)$ 绝对可加或者存在常数 $M$ 使 $\sum_{k=0}^{\infty}\left | g[k]\right |\leq M<\infty$ 成立。

定理二：如果脉冲响应序列 $g(k)$ 是BIBO稳定的，那么当 $k\rightarrow \infty$ :

1. 输入为 $u(k) = a$ 产生的输出，对所有 $k\geq 0$ 接近 $\hat{g}(1)\cdot a$ ;

2.输入为 $u(k) = sin\omega _0k$ 产生的输出，对所有的 $k\geq 0$ 接近 $\left | \hat{g}(j\omega _0) \right |sin(\omega_0k+\measuredangle \hat g(j\omega_0))$ ，

这里 $\hat g(z)$ 是 $g(k)$ 的z变换， $\hat g(z) = \sum_{m=0}^{\infty}g[m]z^{-m}$

定理三：具有有理转系函数 $\hat g(z)$ 的离散SISO系统，当且仅当 $\hat g(z)$ 的每个极点的大小都小于1时BIBO稳定。

例三：

离散LTI系统， $g[k] = 1/k, for k = 1, 2, ...$ ，and $g[0]=0$ ,

$S = \sum_{k=0}^{\infty}\left | g[k] \right | = \sum_{k=0}^{\infty}1/k = \infty$ 所以这个系统不是BIBO的。

MIMO离散系统

定理一：脉冲响应序列的绝对可加性；

定理三：脉冲响应序列的极点大小小于1。

零输入响应的稳定性

零输入系统 $\dot x(t) = Ax(t)$ ，初始状态为 $x_0$ 。

等式的解为 $x(t) = e^{At}x_0$ 。

定义：一个零输入系统或像 $\dot x(t) = Ax(t)$ 的等式边缘稳定，如果每个有限初始状态 $x_0$ 激励出一个有界的响应。一个零输入系统近似稳定如果每个有限初始状态激励出有界响应，并且响应在 $t\rightarrow \infty$ 时接近于0。

定理：

1. 等式 $\dot x = Ax$ 边缘稳定当且仅当 $A$ 的所有特征值有零或负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根；

2. 等式 $\dot x = Ax$ 近似稳定当且仅当 $A$ 的所有特征值都有负实部，且特征值为A的最小多项式的简单根。

推广到离散系统的定理：

1. 等式 $x[k+1] = Ax[k]$ 边缘稳定当且仅当 $A$ 的所有特征值的幅值小于或等于1，且特征值为A的最小多项式的简单根；

2. 等式 $x[k+1] = Ax[k]$ 近似稳定当且仅当 $A$ 的所有特征值的幅值小于1，且特征值为A的最小多项式的简单根。

李雅普诺夫理论