1. 引言

在信号分析中，傅里叶变换可称得上是神器。但在实际应用中，人们发现它还是存在一些不可忽视的缺陷。

为了便于叙述考察以下两种情形：

Case 1

考察这样一个函数：

fs = 1000;
t = 0:1/fs:1 - 1/fs;
x = [10 * cos(2 * pi * 10 * t), 20 * cos(2 * pi * 20 * t),...30 * cos(2 * pi * 30 * t), 40 * cos(2 * pi * 40 * t)];

绘制这个函数的时域图像和经过傅立叶变换后的频谱图像，长这个样子：

现在把信号反转过来：

x = [10 * cos(2 * pi * 10 * t), 20 * cos(2 * pi * 20 * t),...30 * cos(2 * pi * 30 * t), 40 * cos(2 * pi * 40 * t)];
x = x(end:-1:1);

再次绘制时域和频域的图像，它长这样：

不难发现，尽管这两个信号的时域分布完全相反，但是它们的频谱图是完全一致的。显然，FFT无法捕捉到信号在时域分布上的不同。

Case 2

考察一个普普通通的信号:

fs = 1000;
t = 0:1/fs:1-1/fs;x = 2 * cos(2 * 10 * t) + 4 * sin(2 * 30 * t);

同样绘制它的时域以及频域图像：

现在给信号加入一个高频突变：

sharp = zeros(1, length(x));
% 给信号中间加一个突变
sharp(501:510) = 5 * cos(2 * pi * 100 * linspace(0, 1, 10));
x = x + sharp;

然后绘图：

对比两个信号的时域图，我们能很明显发现在第二个信号中央的部分出现了一个突变扰动。然而在频域图中，这样的变化并没有很好的被捕捉到。注意到红框中部分，显然傅里叶变换把突变解释为了一系列低成分的高频信号的叠加，并没有很好的反应突变扰动给信号带来的变化。

为什么我们需要时频分析

通过以上的两个例子，我们不难发现傅立叶变换的缺陷。

第一个例子告诉我们，傅里叶变换只能获取一段信号总体上包含哪些频率的成分，但是对各成分出现的时刻并无所知。因此时域相差很大的两个信号，可能频谱图一样。

第二个例子告诉我们，对于信号中的突变，傅里叶变换很难及时捕捉。而在有些场合，这样的突变往往是十分重要的。

当然如果非要硬杠，也不是完全没办法——这就需要需分析相位谱了，但在实际应用中，有谁会不嫌麻烦地去看相位谱呢？

总而言之，傅里叶变换非常擅长分析那些频率特征均一稳定的平稳信号。但是对于非平稳信号，傅立叶变换只能告诉我们信号当中有哪些频率成分——而这对我们来讲显然是不够的。我们还想知道各个成分出现的时间。知道信号频率随时间变化的情况，各个时刻的瞬时频率及其幅值——这也就是时频分析（引用自知乎）。

所谓时频分析，就是既要考虑到频率特征，又要考虑到时间序列变化。常用的有两种方法：短时傅里叶变化，以及小波变换。本文我们只介绍短时傅里叶变换

2. 短时傅里叶变换原理

短时傅里叶变换的思路非常直观：既然对整个序列做FFT会丢失时间信息，那我一段一段地做FFT不就行了嘛！这也正是短时傅里叶变换名称的来源，Short Time Fourier Transorm，这里的 Short Time 就是指对一小段序列做 FFT。

那么怎么一段一段处理呢？直接截取信号的一段来做 FFT 吗？一般我们通过加窗的方法来截取信号的片段。定义一个窗函数 w(t)\textrm{w}(t)w(t)，比如这样。

将窗函数位移到某一中心点 τ\tauτ，再将窗函数和原始信号相乘就可以得到截取后的信号 y(t)。

y(t)=x(t)⋅w(t−τ)y(t) = x(t) \cdot \textrm{w}(t - \tau) y(t)=x(t)⋅w(t−τ)

前面提到的直接截取的方法其实就是对信号加一个矩形窗，不过一般我们很少选用矩形窗，因为矩形窗简单粗暴的截断方法会产生的频谱泄露以及吉布斯现象，不利于频谱分析。更多关于窗函数的内容，可以看这里：加窗法。

对原始信号 x(t)x(t)x(t) 做 STFT 的步骤如下。

首先将将窗口移动到信号的开端位置，此时窗函数的中心位置在 t=τ0t = \tau_0t=τ0处，对信号加窗处理

y(t)=x(t)⋅w(t−τ0)y(t) = x(t) \cdot \textrm{w}(t - \tau_0) y(t)=x(t)⋅w(t−τ0)

然后进行傅里叶变换

X(ω)=F(y(t))=∫∞+∞x(t)⋅w(t−τ0)e−jωtdtX(\omega) = \mathcal{F}(y(t)) = \int_{\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau_0) e^{-j\omega t}dt X(ω)=F(y(t))=∫∞+∞x(t)⋅w(t−τ0)e−jωtdt

由此得到第一个分段序列的频谱分布 X(ω)X(\omega)X(ω)。在现实应用中，由于信号是离散的点序列，所以我们得到的是频谱序列 X[N]X[N]X[N]。

为了便于表示，我们在这里定义函数 S(ω,τ)S(\omega, \tau)S(ω,τ)，它表示，在窗函数中心为 τ\tauτ 时，对原函数进行变换后的频谱结果 X(ω)X(\omega)X(ω)，即：

S(ω,τ)=F(x(t)⋅w(t−τ))=∫∞+∞x(t)⋅w(t−τ)e−jωtdtS(\omega, \tau) = \mathcal{F}(x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau)) = \int_{\infty}^{+\infty}x(t)\cdot \textrm{w}(t-\tau) e^{-j\omega t}dt S(ω,τ)=F(x(t)⋅w(t−τ))=∫∞+∞x(t)⋅w(t−τ)e−jωtdt

对应到离散场景中，S[ω,τ]S[\omega, \tau]S[ω,τ] 就是一个二维矩阵，每一列代表了在不同位置对信号加窗，对得到的分段进行傅里叶变换后的结果序列。

完成了对第一个分段的FFT操作后，移动窗函数到 τ1\tau_1τ1。把窗体移动的距离称为 Hop Size。移动距离一般小于窗口的宽度，从而保证前后两个窗口之间存在一定重叠部分，我们管这个重叠叫 Overlap。

重复以上操作，不断滑动窗口、FFT，最终得到从 τ0∼τN\tau_0 \sim \tau_Nτ0∼τN 上所有分段的频谱结果：

最终我们得到的 SSS，就是 STFT 变换后的结果。

3. STFT实现

以下代码基于 Matlab 2019b。

3.1 算法实现

STFT 的实现如下，算法返回的三个参数：

f: m 维向量，表示傅里叶变换后每个点对应的频率值，单位为 Hz
t: n 维向量，表示 n 个窗口中心时间 τ1∼τn\tau_1 \sim \tau_nτ1∼τn，单位为秒
STFT: 一个二维矩阵 [m, n]，每个列向量代表了在对应 τ\tauτ 上 FFT 变换的结果

function [STFT, f, t] = mystft(x, win, hop, nfft, fs)% 计算短时傅里叶变换% Input:%   x - 一维信号%   win - 窗函数%   hop - hop size，移动长度%   nfft - FFT points%   fs - 采样率%% Output:%   STFT - STFT-矩阵 [T, F]%   f - 频率向量%   t - 时间向量% 把 x 变为列向量x = x(:);xlen = length(x);wlen = length(win);% 窗口数目 LL = 1+fix((xlen-wlen)/hop);STFT = zeros(nfft, L);% STFTfor l = 0:L-1% 加窗xw = x(1+l*hop : wlen+l*hop).*win;% FFT计算X = fft(xw, nfft);X = fftshift(X);STFT(:, 1+l) = X(1:nfft);end% 取每个窗口中点的时间点t = (wlen/2:hop:wlen/2+(L-1)*hop)/fs;%f = (0:nfft-1)*fs/nfft;% 频率 (fftshift之后的)f = (-nfft/2:nfft/2-1) * (fs/nfft);end

3.2 使用范例

我们这里使用 Case 1 的范例来看看 STFT 效果如何。

为了方便可视化，这里给出了对 STFT 变换后的可视化函数。

function PlotSTFT(T,F,S)% Plots STFTplotOpts = struct();plotOpts.isFsnormalized = false;plotOpts.cblbl = getString(message('signal:dspdata:dspdata:MagnitudedB'));plotOpts.title = 'Short-time Fourier Transform';plotOpts.threshold = max(20*log10(abs(S(:))+eps))-60;signalwavelet.internal.convenienceplot.plotTFR(T,F,20*log10(abs(S)+eps),plotOpts);
end

注意上面这个函数依赖于 signalwavelet 包，如果没有这个依赖的话，我还提供了一个粗糙版的绘图函数，用法基本类似，不过最后一个参数需要把从窗函数对象传进去：

function PlotSTFT_2(T, F, S, win)wlen = length(win);C = sum(win)/wlen;S = abs(S)/wlen/C;S = 20*log10(S + 1e-6);%figure(1)surf(T, F, S)shading interp;axis tight;view(0, 90);%set(gca, 'FontName', 'Times New Roman', 'FontSize', 14);xlabel('Time, s');ylabel('Frequency, Hz');title('Amplitude spectrogram of the signal');hcol = colorbar;%set(hcol, 'FontName', 'Times New Roman', 'FontSize', 14);ylabel(hcol, 'Magnitude, dB');
end

对 Case 1 中的两种情况进行分析，代码如下

close all; clear; clc;
fs = 1000;
t = 0:1/fs:1 - 1/fs;
% 窗口大小，推荐取 2 的幂次
wlen = 256;
% hop size 即移动步长，一般要取一个小于 wlen 的数，推荐取 2 的幂次
hop = wlen/4;
% FFT 点数，理论上应该不小于wlen，推荐取 2 的幂次
nfft = 256;x = [10 * cos(2 * pi * 10 * t), 20 * cos(2 * pi * 20 * t),...30 * cos(2 * pi * 30 * t), 40 * cos(2 * pi * 40 * t)];
figure;
subplot(2, 2, 1);
plot(x);
% 随便选的一个窗函数
win = blackman(wlen, 'periodic');[S, f, t] = mystft(x, win, hop, nfft, fs);
subplot(2, 2, 2);
PlotSTFT(t,f,S);x = x(end:-1:1);
subplot(2, 2, 3);
plot(x);
win = blackman(wlen, 'periodic');[S, f, t] = mystft(x, win, hop, nfft, fs);
subplot(2, 2, 4);
PlotSTFT(t,f,S);

可以看到，在 FFT 中无法区分的频谱图像在 STFT 中区分就非常明显，可以看出按照不同的时间分段，频谱分布的变化。

为了更好地理解，将右上角的图做一次三维旋转：

可以非常清晰地看出频率分布随时间的变换。注意到分界线处存在异常的高频成分（就是 STFT 图像中那三条竖线），这是因为时域信号突变导致的高频成分。

3.3 Matlab 中的实现

在老的版本中，Matlab 中 STFT 的函数名为 spectrogram，而在 2019 版本中，引入了新的函数 stft，用法和我上面的实现的程序基本一致。

close all; clear; clc;
fs = 1000;
t = 0:1/fs:1 - 1/fs;
% 窗口大小，推荐取 2 的幂次
wlen = 256;
% hop size 即移动步长，一般要取一个小于 wlen 的数，推荐取 2 的幂次
hop = wlen/4;
% FFT 点数，理论上应该不小于wlen，推荐取 2 的幂次
nfft = 256;x = [10 * cos(2 * pi * 10 * t), 20 * cos(2 * pi * 20 * t),...30 * cos(2 * pi * 30 * t), 40 * cos(2 * pi * 40 * t)];
figure;
subplot(1, 3, 1);
win = blackman(wlen, 'periodic');
[S, f, t] = mystft(x, win, hop, nfft, fs);
PlotSTFT(t,f,S);
title('My STFT');subplot(1, 3, 2);
[S1, f1, t1] = spectrogram(x, win, wlen - hop, nfft, fs);
PlotSTFT(t1, f1, S1);
title('spectrogram');subplot(1, 3, 3);
[S2, f2, t2] = stft(x, fs, 'Window', win, 'OverlapLength',wlen - hop,'FFTLength',nfft);
PlotSTFT(t2, f2, S2);
title('stft');

需要注意的是，我实现的时候用的参数是 hop size，而matlab提供的函数需要的参数是 overlap 这个别搞混了。结果如下。

要注意的是，spectrogram 输出的是单边谱，而 stft 输出的是双边谱，其他区别倒不大。但是 spectrogram 还可以输出功率谱，而 stft 就不行了。

4. STFT 的缺点

如果你仔细分析上面的内容，你会发现短时傅立叶变换也有不容忽视的缺陷。

最明显的一个问题：窗口的宽度该设多少为好呢？为了阐明这个问题的影响，我们做这么一个实验：调整不同 wlen 的值，来看看影响。

len =  [32, 64, 128, 256];
for i = 1:4wlen = len(i);hop = wlen/4;nfft = wlen;win = blackman(wlen, 'periodic');[S, f, t] = mystft(x, win, hop, nfft, fs);subplot(2, 2, i);PlotSTFT(t,f,S);[m, n] = size(S);t = sprintf('Wlen = %d, S: [%d, %d]', wlen, m, n);title(t);
end

结果如下：

注意 S 的尺寸随 wlen 的变换，不难发现一个事实：

窗太窄，窗内的信号太短，会导致频率分析不够精准，频率分辨率差，具体表现是黄色的横线越来越宽、越来越模糊
窗太宽，时域上又不够精细，时间分辨率低，具体表现是淡蓝色的竖线越来越宽、越来越模糊（还记得吗，竖线表示交界处的突变造成的高频干扰成分）

从定量的角度来看，STFT的时间分辨率取决于滑移宽度 HHH，而频率分辨率则取决于 FsH\frac{F_s}{H}HFs。显然，一方的增加必然意味着另一方的减小。这就是所谓的时频测不准原理（跟海森堡测不准是一个性质），具体关系为：

Δt⋅Δf⩾14π\Delta t \cdot \Delta f \geqslant \frac{1}{4\pi} Δt⋅Δf⩾4π1

另外，固定的窗口大小过于死板。对低频信号而言，有可能连一个周期都不能覆盖；对高频信号而言，可能覆盖过多周期，不能反映信号变化。

也就是说，这又是一个 Trade-Off 问题，而一个问题一旦进入 Trade-Off 模式，就开始变得玄学起来了。

为了打破这种玄学困境，就需要一个更加强大的武器——小波变换。

至于小波变换，那就是另一个故事了。

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