拉格朗日方程的三种推导方法之基于欧拉-拉格朗日方程推导

拉格朗日方程是分析力学中的重要方程，其地位相当于牛顿第二定律之于牛顿力学。

欧拉-拉格朗日方程可以表述为：
设有函数 y(x)\mathbf{y}(x)y(x)和 f(y,y˙,x)f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)f(y,y˙,x)：
y(x)=(y1(x),y2(x),…,yN(x))(1)\mathbf{y}(x)=\left( {{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x),\ldots ,{{y}_{N}}(x) \right)\tag{1}y(x)=(y1(x),y2(x),…,yN(x))(1)

y˙(x)=(y˙1(x),y˙2(x),…,y˙N(x))(2)\mathbf{\dot{y}}(x)=\left( {{{\dot{y}}}_{1}}(x),{{{\dot{y}}}_{2}}(x),\ldots ,{{{\dot{y}}}_{N}}(x) \right)\tag{2}y˙(x)=(y˙1(x),y˙2(x),…,y˙N(x))(2)

f(y,y˙,x)=f(y1(x),y2(x),…,yN(x),y˙1(x),y˙2(x),…,y˙N(x),x)(3)f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)=f\left( {{y}_{1}}(x),{{y}_{2}}(x),\ldots ,{{y}_{N}}(x),{{{\dot{y}}}_{1}}(x),{{{\dot{y}}}_{2}}(x),\ldots ,{{{\dot{y}}}_{N}}(x),x \right)\tag{3}f(y,y˙,x)=f(y1(x),y2(x),…,yN(x),y˙1(x),y˙2(x),…,y˙N(x),x)(3)

其中xxx是自变量。
若存在 y(x)∈(C1[a,b])N\mathbf{y}(x)\in {{\left( {{C}^{1}}[a,b] \right)}^{N}}y(x)∈(C1[a,b])N 使泛函
J(y)=∫abf(y,y.,x)dx(4)J(\mathbf{y})=\int_{a}^{b}{f}(\mathbf{y},\overset{.}{\mathop{\mathbf{y}}}\,,x)dx\tag{4}J(y)=∫abf(y,y.,x)dx(4)

取得局部平稳值，则在区间 (a,b)(a,b)(a,b) 内对于所有iii ，皆有：
ddx(∂∂y˙if(y,y˙,x))−∂∂yif(y,y˙,x)=0(5)\frac{d}{dx}\left( \frac{\partial }{\partial {{{\dot{y}}}_{i}}}f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x) \right)-\frac{\partial }{\partial {{y}_{i}}}f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)=0\tag{5}dxd(∂y˙i∂f(y,y˙,x))−∂yi∂f(y,y˙,x)=0(5)

若设独立变量 xxx为时间 ttt，函数 yi{{y}_{i}}yi为广义坐标qi{{q}_{i}}qi ，泛函 f(y,y˙,x)f(\mathbf{y},\mathbf{\dot{y}},x)f(y,y˙,x) 替换为拉格朗日量，则可得到拉格朗日方程:
ddt(∂L∂q˙j)−∂L∂qj=0(6)\frac{d}{dt}\left( \frac{\partial L}{\partial {{{\dot{q}}}_{j}}} \right)-\frac{\partial L}{\partial {{q}_{j}}}=0\tag{6}dtd(∂q˙j∂L)−∂qj∂L=0(6)

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