石墨烯的晶格和能带结构

在半导体中，电子的能带结构决定了电子允许和被禁止的能量范围，并决定了半导体材料的电学及光学性质。孤立原子的电子占据一定的原子轨道，形成一系列分立的能级。

石墨烯的晶格结构非常稳定，电子在轨道中移动所受到的干扰非常小，具有优秀的导电性能。这种结构导致石墨烯独特的电子能带结构，如图1(b)所示，第一布里渊区的六个顶点为费米点（也称为狄拉克点或K点），导带和价带关于狄拉克点对称，因此在纯净的石墨烯中，电子和空穴具有相同的性质。即在狄拉克点附近，电子的能量与波矢成线性的色散关系，E=V_FP=V_Fhk。其中，VF为费米速度，大约为光速的1/300，k为波矢。因此，K点附近电子由于受到周围对称晶格势场的作用，载流子的有效静质量为0，费米速度接近于光速，呈现相对论的特性。所以K点附近的电子性质应该用狄拉克方程(Dirac)进行描述，而不是用薛定谔方程（Schrodinger）进行描绘。石墨烯的载流子的迁移率超过200,000cm²*V^-1*s^-1，纯净的石墨烯中电子的平均自由程达亚微米量级，近似为弹道运输，这在制造高速器件上有着诱人的潜力。

图1 (a)石墨烯晶体结构示意图； (b)石墨烯的三维能带结构；(c)石墨烯在布里渊区的高对称性及二维能带结构

(d)狄拉克点附近的能带结构和费米面随掺杂移动示意图

石墨烯中的碳外层包括4个电子，3个s电子（轨道在石墨烯平面内），和一个p电子（π电子，轨道垂直于石墨烯平面），石墨烯的能带结构可以用紧束缚的Hamilton方程近似描述，在紧束缚的条件下，π带的色散关系为：

其中，±1分别对应导带和价带，k_x和k_y是波矢k的分量，r₀是近邻碳原子之间的跃迁能，通常取值为2.9-3.1eV，a=sqrt(3)a_ce，a_ce=1.42A是碳原子之间的距离。由于每个碳原子贡献一个π电子，石墨烯的价带刚好填满，而导带全空。如此费米面刚好处于导带和价带的相交点，从而石墨烯就有一个不同于通常半导体的奇异特性，即其实零带隙的材料。又由于石墨烯在交点K附近有线性的色散关系，π电子的能量和动量是线性相关的，根据克莱因-高登方程得到相对论的粒子的能量本征值为：

其中m₀是有效质量，并且移动速度恒定，非常类似于光子。所以p电子适用于相对论的Dirac方程，而不适用于Schrodinger方程。p电子表现为无质量的Dirac费米子，导带和价带的交点被称为Dirac点。这种独特的结构使得石墨烯表现出异常的半整数量子霍尔效应，其霍尔点到为量子电导的奇数倍；当载流子趋于零时仍然具有-4e2/h的最小电导率；电子的运动速度约为光速的1/300，是已知材料中最高的传输速度。

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