1.协同过滤算法族的不足

2.逻辑回归算法

3.Poly2算法

4.FM算法

5.FFM

1.协同过滤算法族的不足

之前的协同过滤算法族局限在于，它仅仅关注用户与物品的交互信息（受限于共现矩阵），而忽视了用户，物品，场景点信息，这使得协同过滤算法在进行推荐的时候忽视许多其他有用的信息。机器学习针对这一问题提出了很好的解决办法，我们将根据推荐算法质量逐步介绍一些逻辑回归算法族模型。

2.逻辑回归算法

逻辑回归模型能够利用用户、物品、上下文等多种不同的特征，生产较为“全面”的推荐结果。其数学模型如下：

$z=w_0+w_1x_1+w_2x_2+...+w_mx_m$

$f(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

在逻辑回归中，比如用户的年龄、性别、物品属性、物品描述、当前时间、当前地点等起都可以作为输入的特征 $x_i$ ，所有特征线性组合以后经过一个sigmoid函数计算其值得推荐的概率。

优化函数：

$loss=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log\hat{y}^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})$

优点：结合了多种特征进行推荐，比较符合人的思维。

缺点：仅仅考虑单一特征，未考虑组合特征。

3.Poly2算法

在正式介绍Poly2模型之前，我们先要搞清楚，什么是组合特征。

科比	霍华德	纳什	保罗-加索尔	西部第七
兰多夫	康利	鲁迪-盖伊	马克-加索尔	西部第五

若两方球队打比赛，如果单单从个人实力上来看（单一特征），也许科比队的可能就赢了，但是兰多夫与康利在一起搭档时，会爆发出更大的可能性（特征组合），因此兰多夫队胜利。在之前的逻辑回归仅仅考虑了单一特征，而未考虑交叉特征。Poly2算法在逻辑回归的基础上，引入了二阶交叉特征，起数学模型如下所示：

$z=w_0+\sum_{i =1}^{m}w_ix_i+\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=i+1}^{m}w_{i,j}x_ix_j$

$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

我们可以发现，Poly2算法改进逻辑回归只考虑单一特征的问题，但是Poly算法也带来了另外一个问题，即数据稀疏的问题。

我们在实际应用场景中，对于类别的数据，我们会将其进行one-hot编码。如下一个简单的例子：

点击	性别	星期
1	男	星期一
0	女	星期二

我们进行one-hot编码将类别数据转为数值型数据，即：

点击	男	女	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0

若我们考虑组合特征，则：

点击	男	女	星期一	星期二	星期三	星期四	星期五	星期六	星期日	点击&星期一	点击&星期二	...
1	1	0	1	0	0	0	0	0	0	1	0
0	0	1	0	1	0	0	0	0	0	0	0

由于ohe-hot编码本身对类别数据就会产生大量的0，特征交叉以后组合特征使得特征数变多了很多，这会引入大量的0造成特征稀疏的问题，更致命的是，很可能导致交叉权重系数 $w_{i,j}$ 无法更新。以下给出详细推导过程：

$z=w_0+\sum_{i =1}^{m}w_ix_i+\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=i+1}^{m}w_{i,j}x_ix_j$

$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

其损失函数依旧是交叉熵，即：

$loss=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log\hat{y}^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})$

我们分别计算权重系数的偏导数：

$\frac{\partial l}{\partial w_0}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial l}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_0}+\frac{\partial l}{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}\frac{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_0} \\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\frac{1}{\hat{y}^{(i)}}\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot 1 +(1-y^{(i)})\frac{1}{1-\hat{y}^{(i)}}\cdot(-1)\cdot\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot 1 )\\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})$

$\frac{\partial l}{\partial w_j}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial l}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_j}+\frac{\partial l}{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}\frac{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_j} \\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\frac{1}{\hat{y}^{(i)}}\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot x_j +(1-y^{(i)})\frac{1}{1-\hat{y}^{(i)}}\cdot(-1)\cdot\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot x_j )\\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})x_j$

$\frac{\partial l}{\partial w_{i,j}}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial l}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_{i,j}}+\frac{\partial l}{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}\frac{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w_{i,j}} \\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\frac{1}{\hat{y}^{(i)}}\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot x_ix_j +(1-y^{(i)})\frac{1}{1-\hat{y}^{(i)}}\cdot(-1)\cdot\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot x_ix_j )\\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})x_jx_j$

观察交叉特征的梯度 $\frac{\partial l}{\partial w_{i,j}}$ ，最后推导的结果为： $-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})x_jx_j$ ，其中由于组合特征数据的稀疏性 $x_ix_j$ 大概率为0,进而导致梯度为0，这就会造成在梯度更新的时候无法更新。而FM算法便是针对这个问题进行改进。

4.FM算法

针对Poly2算法存在的交叉特征权重系数梯度无法更新问题，FM提出为每个特征向量计算一个隐特征向量，如下图所示：

Poly2：

	feature1&feature2	feature1&feature3	feature2&feature3
权重系数	$w_{1,2}$ （标量）	$w_{1,3}$	$w_{2,3}$

FM:

feature1&feature2

feature1&feature3

feature2&feature3

隐特征

向量(k纬)

0.56

0.12

0.34

0.12

0.43

0.87

0.98

0.32

0.45

每个交叉特征权重系数为这进行交叉的两个特征内积所得，因此原来的Poly2数学模型为：

$z=w_0+\sum_{i =1}^{m}w_ix_i+\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=i+1}^{m}w_{i,j}x_ix_j$

$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

而FM模型数学模型为：

$z=w_0+\sum_{i =1}^{m}w_ix_i+\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=i+1}^{m}<v_i,v_j>x_ix_j$

$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

即 $<v_i,v_j>=w_{i,j}$ 。而隐特征向量的实现如下图所示：

即将 $n\times n$ 权重系数矩阵 $W$ 用一个 $n\times k$ 矩阵来表示（因为 $W$ 是实对称矩阵，只要k足够大，一定存在矩阵 $V$ ，使其满足 $W=V^TV$ ），这一步就是矩阵分解的思想，在协同过滤中，将 $n\times m$ 共现矩阵分解为 $n\times k$ 用户矩阵和 $k\times n$ 物品矩阵,这里有异曲同工之妙，即将 $n\times n$ 交叉特征权重系数矩阵分解为 $n\times k$ 交叉特征隐向量矩阵，其中隐特征向量的维度为 $k$ （ $k<<n$ ）。

现在的数学模型中包含了向量，进一步简化FM的数学模型，将向量中的每个元素都挖出来，简化数学模型：

$\sum_{i=1}^{m-1}\sum_{j=i+1}^{m}<v_i,v_j>x_ix_j=\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}<v_i,v_j>x_ix_j-\sum_{i=1}^{m}<v_i,v_i>x_i^2)$

解释：我们知道权重系数与交叉特征进行线性组合，最后得到一个标量。观察上图，每个权重系数的是由于一个 $n\times k$ 矩阵中的两个向量内积所得，而对于一个交叉权重系数矩阵，由于其为实对称矩阵，因此我们在实际的计算中仅仅取上三角部分（对角线上的元素不需要）。而： $\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}<v_i,v_j>x_ix_j=V^TV$ ，为了取出上三角只要减去其对角线上的元素：

$\sum_{i=1}^{m}<v_i,v_i>x_i^2$ 并除以2得到交叉特征与特征线性组合的标量。

我们知道向量的内积就是对应元素相乘求和，即： $<v_i,v_j>=\sum_{f=1}^kv_{i,f}\cdot v_{j,f}$ 。因此，进一步优化：

$\frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}<v_i,v_j>x_ix_j-\sum_{i=1}^{m}<v_i,v_i>x_i^2)\\= \frac{1}{2}(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}\sum_{f=1}^kv_{i,f}v_{j,f}x_ix_j-\sum_{i=1}^{m}\sum_{f=1}^kv_{i,f}^2x_i^2)\\ =\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^mv_{i,f}x_i)\cdot (\sum_{j=1}^mv_{j,f}x_j)-\sum_{i=1}^m(v_{i,f}\cdot x_i)^2]\\ =\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^mv_{i,f}x_i)^2-\sum_{i=1}^m(v_{i,f}\cdot x_i)^2]$

所以，FM最终的数学模型可以写为

$z=w_0+\sum_{j =1}^{m}w_jx_j+\frac{1}{2}\sum_{f=1}^k[(\sum_{i=1}^mv_{i,f}x_i)^2-\sum_{i=1}^m(v_{i,f}\cdot x_i)^2]$

$\hat{y}=\frac{1}{1+e^{-z}}$

其损失函数与前面一样，依旧为交叉熵：

$loss=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}y^{(i)}log\hat{y}^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-\hat{y}^{(i)})$

此时我们在去求其偏数：

$\frac{\partial l}{\partial v_{m,n}}=-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}\frac{\partial l}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v_{m,n}}+\frac{\partial l}{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}\frac{\partial 1-\hat{y}^{(i)}}{\partial \hat{y}^{(i)}}\frac{\partial \hat{y}^{(i)}}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial v_{m,n}} \\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}\frac{1}{\hat{y}^{(i)}}\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot \frac{\partial z}{\partial v_{m,n}}+(1-y^{(i)})\frac{1}{1-\hat{y}^{(i)}}\cdot(-1)\cdot\hat{y}^{(i)}(1-\hat{y}^{(i)})\cdot \frac{\partial z}{\partial v_{m,n}} )\\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})\frac{\partial z}{\partial v_{m,n}} \\ =-\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}(y^{(i)}-\hat{y}^{(i)})[2(\sum_{I=1}^mv_{i,n}\cdot x_i)\cdot x_n-2(v_{m,n}\cdot x_m)\cdot x_m]$

其中， $[2(\sum_{I=1}^mv_{i,n}\cdot x_i)\cdot x_n-2(v_{m,n}\cdot x_m)\cdot x_m]$ 只要有一个特征不为0，其值为0的可能性很小（若都为0，我们也不关心，说明两种特征都没激活，无需更新）。这也是隐向量的引入使得FM能够更好第解决数据稀疏性问题。

举例来说，在某商品推荐的场景下，样本有两个特征，分别是频道（channel）和品牌（brand），某训练样本的特征组合是（ESPN，Adidas）。在POLY2中，只有当ESPN和Adidas同时出现在一个训练样本中时，模型才能学习到这个组合特征对应的权重；而在FM中，ESPN的隐向量也可以通过(ESPN，Gucci)样本进行更新，Adidas的隐向量也可以通过（NBC，Adidas）样本进行更新，这大幅度降低了模型对数据稀疏性的要求。甚至对于一个从未出现过的特征组合（NBC，Gucci），由于模型之前已经分别学习过NBC和Gucci的隐向量，具备了计算该特征组合权重的能力，这是POLY2无法实现的。相比POLY2，FM虽然丢失了某些具体特征组合的精确记忆能力，但是泛化能力大大提升。

5.FFM

FFM算法在FM算法的基础上，又提出了一个类别域的概念，举出下面例子来说：

推荐算法之逻辑回归模型族

1.协同过滤算法族的不足

2.逻辑回归算法

3.Poly2算法

4.FM算法

5.FFM

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