看到标题，如果你的答案是“是”，那么请看官您耐着性子把这篇博文读完，希望在您看完之后，能对这个问题有一个新的认识。

随机向量

我们说随机向量 X = [ X 1 , X 2 , ⋯ , X n ] ′ {\bf X}=[X_1,X_2,\cdots,X_n]^{\prime} X=[X1,X2,⋯,Xn]′，它其实是一个由n个随机变量组成的列向量。
其中，这个随机向量的每个元素都是一个随机变量，都有一个自己的分布，即所谓边缘分布。
而所有元素的联合分布，则称为这个随机向量的分布。

正文

首先考虑一维的情况
如果有一个随机变量 x {\bf x} x
那么对他作线性变换，得到一个新的随机变量 y = a x + b ( a ≠ 0 ) {\bf y}=a{\bf x}+b(a\neq 0) y=ax+b(a=0)
毫无疑问， x {\bf x} x的取值会影响到 y {\bf y} y的取值。即是说 x {\bf x} x与 y {\bf y} y不独立。
【比如x取1，y只能取a+b而不能取其他数】
那么考虑二者的协方差：
C o v ( x , y ) = C o v ( x , a x + b ) = a C o v ( x , x ) = a V a r ( x ) Cov({\bf x},{\bf y})=Cov({\bf x},a{\bf x}+b)=aCov({\bf x},{\bf x})=aVar({\bf x}) Cov(x,y)=Cov(x,ax+b)=aCov(x,x)=aVar(x)
这个时候不论 x {\bf x} x是什么分布，只要方差不为0，二者就线性相关。

接下来考虑多维的情况
回归到问题，假设随机向量：
X ∼ N p ( μ , Σ ) {\bf X} \sim N_p(\mu,\Sigma) X∼Np(μ,Σ)
在高维，对一个向量做线性变换等于让这个向量与一个矩阵相乘。
于是做线性变换得到新的随机向量：
Y = A X {\bf Y}=A{\bf X} Y=AX
由于X为多元正态分布，线性变换之后的Y亦是多元正态分布。
那么可以肯定的是，只要 A ≠ 0 A\neq {\bf 0} A=0，两个随机向量就不独立。
那我们看看，不独立的时候，有没有可能两个随机向量的协方差矩阵为0矩阵。
C o v ( X , Y ) = C o v ( X , A X ) = C o v ( X , X ) A ′ = Σ A ′ Cov({\bf X},{\bf Y})=Cov({\bf X},A{\bf X})=Cov({\bf X},{\bf X})A^{\prime}=\Sigma A^{\prime} Cov(X,Y)=Cov(X,AX)=Cov(X,X)A′=ΣA′
而 Σ A ′ = 0 \Sigma A^{\prime}={\bf 0} ΣA′=0是否有可能发生呢？
为了说明问题，我们取 Σ = [ 1 1 1 1 ] \Sigma=\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix} Σ=[1111]
A = [ 1 − 1 1 − 1 ] A=\begin{bmatrix}1&-1\\1&-1\end{bmatrix} A=[11−1−1]
则：
Σ A ′ = [ 1 1 1 1 ] [ 1 1 − 1 − 1 ] = [ 0 0 0 0 ] \Sigma A^{\prime}=\begin{bmatrix} 1&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\-1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix} ΣA′=[1111][1−11−1]=[0000]
这样的结果说明了 X , Y {\bf X},{\bf Y} X,Y不相关。
我们看到，即便两个正态随机向量 X , Y {\bf X},{\bf Y} X,Y并不独立，但是他们的协差阵为0矩阵！
就是说，两个正态随机向量不相关 ≠ \neq =两个正态随机向量独立！

因此，标题的说法是错误的！

正确表述

正确的说法应该是：
当两个随机向量的联合分布为多元正态分布时，不相关=独立。
具体证明请参考高惠璇《应用多元统计分析》P29.

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两个正态随机向量不相关就意味着这两个随机向量独立？

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