在上一篇文章“复合材料失效理论知多少（二）——Puck失效理论”中提到了公认的在基体断裂方面预测精度比较高的失效准则Puck失效准则，

在第一届世界复合材料失效运动会（WWFE-I）中Puck失效理论综合排名第三。

Puck理论提出后，自身的改动很少，作者在两届WWFE中都没有对其理论进行改进，以至于虽然在盲测阶段PUCK理论排名很靠前（WWFE-I排名第三，WWFE-II排名第四），但是到第二阶段评比中被许多理论反超（WWFE-II B阶段排名第十）。

虽然PUCK理论自身改进很少，但仍然难以抹煞其在基体失效方面的高精度预测，并且PUCK失效理论的思路给其他理论提出者提供了很有价值的参考，其中最具代表性的就是Pinho理论。当然Pinho理论还跟NASA的LaRC系列判据有千丝万缕的联系，以后再说吧。

Pinho理论没有参加过WWFE-I，但在WWFE-II A阶段盲测评价中直接搞了个第一名，WWFE-II B阶段依据试验结果对理论改进后的评价中，该判据的改进型获得了第二名。

好了闲言少叙，直接看Pinho的理论吧，由于这哥们比较高产，理论改来改去，版本还挺多，并且还参加了WWFE-III，我们就先看WWFE-II中的理论（2012年提交给WWFE-II组委会进行盲测的理论），其他的我们后期再更新。

以下开始介绍Pinho的具体理论。

总体来讲，Pinho理论提出了一种跟压力相关的三维本构，考虑了剪切方向、横向以及厚度方向上的非线性本构。另外，模型中还考虑了割线刚度随静水压力和应变状态的变化。失效准则包含了基体破坏，纤维扭结和纤维拉伸破坏三种模式，并且在基体失效判断中使用了原位强度（In-situ strengths）。

（1）非线性本构

他的理论的第一个特点是考虑了非线性本构关系，复合材料在面内面外剪切以及横向压缩时，应力应变曲线是有明显的非线性特征的。就像下图所示的。

我们通常的工程分析中，结构所能达到的应变水平较低，所以响应可以近似看错是线性的，这也是为什么我们在有限元软件中输入剪切模量的时候把剪切模量G12G13看作是工程常数的原因，但是在失效分析这种高应变水平下，仍然把剪切模量G12G13看做常数就不行了。

其中模量是静水压力和零静水压力状态下的割线模量的函数，

静水压力对材料性能的影响

其中静水压力只考虑横向应力：

零静水压力状态下的割线模量又是应变状态的函数，而这些都是要考实验去测量然后做函数拟合的。

等效应变表达式如下：

试验测得的应力应变试验点都是离散点，Pinho采用样条曲线拟合并做了外延插值。

（2）失效理论

Pinho失效理论将复合材料失效模式分为Fibre tensile failure（纤维拉伸失效）、Fibre kinking failure（有翻译做纤维扭折、纤维扭结的，总之就是沿纤维方向受压时的破坏模式）以及Matrix failure（基体失效）三类。

• 纤维拉伸失效：

这种失效模式采用的是最简单的最大应力准则，XT就是纵向拉伸强度。

• 基体失效：

基体失效模式判据参照了Puck准则，也是考虑了断裂面应力及强度，具体表达式如下，

断面坐标系下的应力求解同Puck理论一样：

摩擦系数定义如下，51°<a0 <55°，通常取53°，是由大量横向压缩试验测得的断裂角：

这些都是和Puck理论类似的，主要的区别在于，Pinho在基体失效判断中采用了原位强度（原位效应）。

原位效应认为复合材料的某些材料强度不能仅仅看作是一种材料性能，更应该是一种结构特性，它是受铺层厚度以及铺层的相邻层影响的，层厚以及相邻层会改变断裂力学的边界条件。再通俗一点讲，我们通常力学分析中的强度值（Xt、Xc、Yt、Yc、S等）是由单向板测试得到的，一般认为这些数值就是材料的一种固有属性了，原位效应则认为这些材料强度是随着层厚度以及相邻层属性而变化的。

上面四幅图是四种裂纹的原位效应示意图。（a）裂纹在单向板中；（b）裂纹在薄的外层；（c）裂纹在薄的内嵌层（d）裂纹在厚的内嵌层。

然后根据断裂力学的理论推导出了四种情况下，几个强度值的原位强度，列表如下：

然后将原位强度带入前面所述的基体断裂公式中进行失效判断。

• 纤维压缩失效（Fibre kinking）：

Pinho理论最大的创新点就在于纤维压缩失效判断，纤维压缩失效判断一直是一个比较难的问题，很多压溃、冲击等问题都不可避免会遇到纤维压缩失效模式，这种问题往往预测精度奇差，本质上还是因为纤维压缩失效的机理研究的不透彻。

大量的试验结果表明，纤维压缩失效后，可以观察到扭结带（kink band），形成该扭结带的原因目前研究的并不是很清晰，一部分研究人员认为，扭结带在某种程度上是由纤维微屈曲引起的，另一部分研究人员认为扭结带是由的局部基体开裂引起的。

Pinho等人在观察了T300 / 913扭结带形成的过程之后，提出了新的扭结带形成机理：他们认为最早的纤维间基体开裂是由于相邻层失效以后引入的高剪切应力造成的，另外局部高剪切应力也可能是由于制造缺陷引起的。基体的开裂会进一步推动纤维弯曲，并进一步加剧基体开裂。而 弯曲的纤维最终会由于弯曲应力和压缩应力的作用而在两个端头相继断裂，最终形成纽结带。也就是说扭结带是由于剪切主导的基体开裂引起的，纤维的微屈曲并不是纤维失效的主导因素。

再进一步的试验观察发现，当纵向压缩比较显著时，会形成扭结带，但是当纵向压缩不是很明显的时候，剪切主导的基体开裂并不会引起扭结带，而是形成纤维断裂（fibre splitting）。

所以Pinho理论中，纤维失效模式是分为Fibre kinking和Fibre splitting两种子模式的：

也有分开写得：

这两种子模式的区分取决于纤维方向的压缩应力σ1和压缩强度Xc，当σ1≤-0.5*Xc时，压缩应力显著，则发生Fibre kinking的失效模式，当0>σ1≥-0.5*Xc时，压缩应力不明显，则发生Fibre splitting失效模式。

在扭结平面上的应力分量表示如下：

然后再进一步变换到纤维拐折的局部坐标系下：

扭结平面的角度ψ介于[0,180]之间，其求解方法和Puck理论中的断面角度求解思路相似，均是通过数值算法求得使失效判据达到最大值时候对应的ψ。

至于偏折角φ，它是由初始偏折角φ0以及剪切应变累加组成的：

sign是符号函数，剪切应变是剪切应力的函数：

φ0则可以通过下式求解，

γ表示应变-应力的函数关系，如果剪切应力应变是线性的，上面公式就成了（本段仅为了小编便于大家理解添加的，并非Pinho原始理论公式）：

另外，φc可以通过压缩强度、剪切强度等计算得出

至此，Pinho理论介绍完毕，还是相当繁琐的。目前该理论的2D判据已集成到Abaqus2019中，LS-DYNA中也已集成，感兴趣的可以去体验，自己写程序还是有些复杂的。不过，还是之前说过的那句话，目前复合材料失效理论仍处于蓬勃发展的阶段，没有哪种理论能适用于所有工况，即使Pinho理论在WWFE-II中某些工况下预测误差也是相当大的。

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