图像傅里叶变换的频谱特征二

很多人都不了解图像（二维）频谱中的每一点究竟代表了什么，有什么意义?

简而言之：二维频谱中的每一个点都是一个与之一一对应的二维正弦/余弦波。

5，方向性（direction）

在二维频谱图中的任意“一对亮点”（注意：频谱的对称性），都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。

在空域图中的任意一条正弦线上，作该正弦线的法线。同时，把频谱图中的一对白色频点和坐标原点（DC中点）用一条直线连接起来。则，空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的，一致的。

上图是一个45度倾斜的正弦波图像。

注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点（DC）连线都是平行的，同时，空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。

上图为相同方向，较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。

上图为相同方向，较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。

下面我们来验证一下其他角度的情况，这一法则是否适用。

上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的，那么针对没有经过频谱中心化的图呢？

Matlab代码：

clear all
close all
%% Author: J27
% Jesus love you!% Length of signal
L = 512;
% Sampling frequency
FsMid = 500;
% Form sampling vectors
IndexMid = linspace(0,FsMid,L); % build 1D sinewave
SineMid = sin(IndexMid);
% translate 1D wave into 2D sinewave
SinewaveM = repmat(SineMid,[L,1]);
% Rotation angle of Sinewave
Angle = 70;
Irot = imrotate(SinewaveM, Angle, 'loose', 'bilinear');
% figure out the image size of new Sinewave.
Start = floor(size(Irot,1)/4);
Stop = 3*Start;% image crop
Icrop = Irot(Start:Stop,Start:Stop);% windowed Sinewave
Beta = 30;
N = 64;
w = kaiser(N,Beta);
wvtool(w)% zero padding
Ipadding = zeros(size(Icrop,1)*2);
Ipadding((floor(size(Icrop,1)/2)+1):(floor(size(Icrop,1)/2)) + ...size(Icrop,1),(floor(size(Icrop,1)/2)+1):(floor(size(Icrop,1)/2)) + size(Icrop,1)) = Icrop;% Fourier spectrum
HanningWindow = kaiser(size(Icrop,1),Beta)*kaiser(size(Icrop,2),Beta)';
Iwindowed = Icrop .* HanningWindow;
BW = imbinarize(log(abs((fft2(Iwindowed)))+1),6.6);
figure;
imshowpair(Icrop,BW,'montage');

这些实验还说明了一个非常重要的问题，那就是：频谱图中的任意一对对称的两点，或者说是频点，经过傅里叶反变换之后，就是空间域中的一个与之对应的正弦波（即，相应的频率和方向）。如下图所示。

（全文完）

作者 --- 松下J27

参考文献（鸣谢）：

【1】Matlab 2017a

【2】[Steven W. Smith] The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (1999)

谢谢收看！

再见！

格言摘抄：众子啊，现在要听从我，留心听我口中的话。你的心不可偏向淫妇的道，不要入她的迷途。因为，被她伤害仆倒的不少；被她杀戮的而且甚多。她的家是在阴间之路，下到死亡之宫。-------《圣经》箴言 7章24-27节

未完待续。。。

（*配图与本文无关*）

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