泛函分析笔记09：开映射与闭图象定理

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3.3谱
3.4开映射与闭图象定理

3.3谱

设XXX是复BanachBanachBanach空间，且T∈B(X)T\in \mathscr B (X)T∈B(X)，λ∈C\lambda \in \mathbb{C}λ∈C

正则集ρ(T)={λ:λI−T可逆}\rho(T)=\{\lambda:\lambda I-T可逆 \}ρ(T)={λ:λI−T可逆}为开集，其集合中的元素称为正则值
谱集：σ(T)=C\ρ(T)\sigma (T)=\mathbb C \backslash \rho(T)σ(T)=C\ρ(T)
特征值：（λI−T\lambda I-TλI−T不是单射）存在非零元x0∈Xx_0 \in Xx0∈X，使得Tx0=λx0Tx_0=\lambda x_0Tx0=λx0；点谱=特征值的集合
连续谱：λI−T\lambda I-TλI−T是单射，但不是满射

注：λI−T\lambda I -TλI−T为双射⟹\Longrightarrow⟹(λI−T)−1(\lambda I-T)^{-1}(λI−T)−1有界，即λ∈ρ(T)\lambda \in \rho(T)λ∈ρ(T)

注：σ(T)\sigma (T)σ(T)是有界闭集

TTT的谱半径：r(T)=sup⁡λ∈σ(T)∣λ∣=lim⁡n→∞∣∣T∣∣nn≤∣∣T∣∣r(T)=\sup_{\lambda\in \sigma(T)} |\lambda|=\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt[n]{||T||^n} \le ||T||r(T)=supλ∈σ(T)∣λ∣=limn→∞n∣∣T∣∣n≤∣∣T∣∣

3.4开映射与闭图象定理

定理4.6：设T∈B(X,X1)T\in \mathscr B (X,X_1)T∈B(X,X1)为双射，则T−1T^{-1}T−1有界⟺∃m>0\iff \exist \ m>0⟺∃ m>0，使得 ∣∣Tx∣∣≥m∣∣x∣∣,∀x∈X||Tx||\ge m||x||,\forall x\in X∣∣Tx∣∣≥m∣∣x∣∣,∀x∈X

定理4.7：设T∈B(X)T \in \mathscr B(X)T∈B(X)，当∣∣T∣∣<1||T||<1∣∣T∣∣<1时，有I−TI-TI−T有有界逆，且(I−T)−1=∑n=1∞∣∣T∣∣n=11−∣∣T∣∣(I-T)^{-1}=\sum_{n=1}^\infty ||T||^n =\frac{1}{1-||T||}(I−T)−1=∑n=1∞∣∣T∣∣n=1−∣∣T∣∣1

推论：如果T∈B(X)T\in \mathscr B(X)T∈B(X)有有界逆算子，当∣∣S∣∣<1∣∣T−1∣∣||S||<\frac{1}{||T^{-1}||}∣∣S∣∣<∣∣T−1∣∣1时，T+ST+ST+S有有界逆。

注：B(X)\mathscr B(X)B(X)中可逆元构成一个开集。TTT可逆时，以TTT为中心，1∣∣T−1∣∣\frac{1}{||T^{-1}||}∣∣T−1∣∣1为半径中每个有界元都可逆

定义4.8：设T:X→X1T:X\rightarrow X_1T:X→X1为线性算子，若TTT把 XXX中的开集映射为X1X_1X1中的开集，则称TTT为开算子。

注：由于TTT是线性的，故TTT是开算子⟺\iff⟺ ∀r>0,∃δ>0\forall r >0,\exist \delta >0∀r>0,∃δ>0，使得UX1(0,δ)⊂TUX(0,r)U_{X_1}(0,\delta)\subset T_{U_X}(0,r)UX1(0,δ)⊂TUX(0,r)，其中UX(0,r)={x∈X:∣∣x∣∣<r}U_X(0,r)=\{x\in X:||x||< r\}UX(0,r)={x∈X:∣∣x∣∣<r}

定理4.9：（开映射定理）设X、X1X、X_1X、X1是BanachBanachBanach空间，T∈B(X)T\in \mathscr B(X)T∈B(X)满射，则TTT是开算子。

定理4.10：（Banach逆算子定理）设X、X1X、X_1X、X1是Banach空间，T∈B(X,X1)T\in \mathscr B (X,X_1)T∈B(X,X1)且TTT为单射和满射，则T−1∈B(X1,X)T^{-1}\in \mathscr B (X_1,X)T−1∈B(X1,X)

推论：设XXX上有两个完备范数∣∣⋅∣∣1、∣∣⋅∣∣2||\cdot||_1、||\cdot||_2∣∣⋅∣∣1、∣∣⋅∣∣2，如果存在M>0M>0M>0，使得∣∣x∣∣1≤M∣∣x∣∣2,∀x∈X||x||_1\le M||x||_2,\forall x\in X∣∣x∣∣1≤M∣∣x∣∣2,∀x∈X，则∣∣⋅∣∣1||\cdot||_1∣∣⋅∣∣1和∣∣⋅∣∣2||\cdot||_2∣∣⋅∣∣2等价。即存在m>0m>0m>0，使得m∣∣x∣∣2≤∣∣x∣∣1≤M∣∣x∣∣2,∀x∈Xm||x||_2\le ||x||_1\le M||x||_2,\forall x\in Xm∣∣x∣∣2≤∣∣x∣∣1≤M∣∣x∣∣2,∀x∈X

定义4.11：设TTT是个赋范空间XXX到赋范空间X1X_1X1的线性算子，如果TTT的图象G(T)={(x,Tx)∈X×X1:x∈X}G(T)=\{(x,Tx)\in X\times X_1:x\in X \}G(T)={(x,Tx)∈X×X1:x∈X}在X×X1X\times X_1X×X1中是闭集，则称TTT为闭算子。

定理4.12：TTT是闭算子⟺\iff⟺由在XXX中xn→x0x_n\rightarrow x_0xn→x0和在X1X_1X1中 T(xn)→y0T(x_n)\rightarrow y_0T(xn)→y0可知 y0=Tx0y_0=Tx_0y0=Tx0

注：验证TTT是闭算子的常用条件：由xn→0x_n\rightarrow 0xn→0和Txn→y0Tx_n\rightarrow y_0Txn→y0可知y0=0y_0=0y0=0

注：连续线性算子⟹\Longrightarrow⟹闭算子，反之不成立

定理4.13：（闭图象定理）设X、X1X、X_1X、X1是Banach空间，T:X→X1T:X\rightarrow X_1T:X→X1为比线性算子，则TTT连续

定理4.14：TTT把闭集映成闭集⟹\Longrightarrow⟹ TTT是闭算子