[计算机软件及应用]SPSS 统计软件培训

对应分析正是解决该类问题的一种基于图形分析的直观有效的多元统计分析方法。 对应分析的基本思想 对应分析以两变量的交叉列联表为研究对象，利用“降维”的方法，通过图形的方式，直观揭示变量不同类别之间的联系，特别适合于多分类品质型变量的研究。 对应分析的基本思想是，首先编制两品质型变量的交叉列联表，将交叉列联表中的每个数据单元看成两变量在相应类别上的对应点。 然后，对应分析将变量及变量之间的联系同时反映在一张二维或三维的散点图，即对应分布图上，并使联系密切的类别点较集中，联系疏远的类别点较分散。 最后，通过观察对应分布图就能直观地把握变量类别之间的联系。 可见，对应分析的关键问题是：第一，如何将多个类别点表示在低维空间中，以易于直观观察；第二，如何确定各类别点的坐标，以易于鉴别类别间联系的强弱。 对应分析的基本步骤 围绕如何解决上述两个问题，对应分析采用与因子分析类似的方法降低维数，采用与多维尺度分析类似的方法绘制图形。基本步骤如下： 第一，编制交叉列联表并计算概率矩阵P 编制两品质变量的交叉列联表，涉及的两变量分别称为行变量和列变量。例如，编制收入水平与储蓄品种的交叉列联表，其中，设行变量为收入水平，列变量为储蓄品种。于是得到一个r×c的矩阵X，即： 其中，r为行变量的分类数，c为列变量的分类数，且要求xij>0。将矩阵X规格化为r×c的概率矩阵P，即： 其中， ，为各单元频数的总百分比。于是，矩阵P表示了一组关于比例的相对数据。 第二，根据P矩阵确定数据点坐标 将P矩阵的r行看成r个样本，并将这r个样本看成c维空间中的r个数据点，且各数据点的坐标定义为： 其中， 此时，各个数据点的坐标是一个相对数据，它在各单元总百分比的基础上，将在行和列上的分布比例考虑了进来。于是，如果某两个数据点相距较近，则表明行变量的相应两个类别在列变量所有类别上的频数分布差异均不明显。 例如，如果中等收入水平点与中高收入水平点距离较近，则意味着中等收入水平和中高收入水平对储蓄品种的选择具有相似性。 反之，如果某两个数据点相距较远，则表明行变量的相应两个类别在列变量所有类别上的频数分布差异明显。 例如，如果低收入水平点与高收入水平点距离较远，则意味着低收入水平和高收入水平对储蓄品种的选择不具有相似性。 同理，将P矩阵的c列看成c个样本，并将这c个样本看成r维空间中的c个数据点，且各数据点的坐标定义为： 其中： 同理，各个数据点的坐标也是一个相对数据。于是，如果某两个数据点相距较近，则表明列变量的相应两个类别在行变量所有类别上的频数分布差异均不明显。例如，如果一年定期储蓄点和活期储蓄点距离较近，则意味着一年定期储蓄和活期对不同收人水平的储户具有选择相似性；反之，如果某两个数据点相距较远，则表明列变量的相应两个类别在行变量所有类别上的频数分布差异明显。例如；如果活期储蓄点与三年以上定期储蓄距离较远，则意味着活期储蓄和三年定期储蓄对不同收入水平的储户不具有选择上的相似性。 第三，行变量和列变量的分类降维处理 通过第二步能够将两变量的各个类别看作是多维空间上的点，并通过点与点间距离的测度分析类别间的联系。在变量的类别较多时，数据点所在的空间维数必然较高。由于高维空间比较抽象，且高维空间中的数据点很难直观地表示出来，因此最直接的解决方法便是降维。对应分析采用正是类似因子分析的方式分别对行变量类别和列变量类别实施降维。具体做法是： 对列变量实施分类的降维 将P矩阵的c列看作c个变量，计算c个变量的协方差矩阵A。可证明第i个变量与第j个变量的协方差矩阵为： 其中： 并记为 从协方差矩阵A出发，计算协方差矩阵A的特征根 以及对应的特征向量 根据累计方差贡献率确定最终提取特征根的个数k，通常k取2，并计算出相应的因子载荷矩阵F，即： 其中，因子载荷是列变量的某分类在某个因子上的载荷，反映了它们之间的相关关系。与因子分析类似，可通过变量(列变量某分类)的共同度测度其方差的解释程度和信息的丢失程度；可通过因子的方差贡献测度因子的重要程度。 对行变量实施分类的降维 将P矩阵的r行看作r个变量，计算r个变量的协方差矩阵B。可证明第i个变量与第j个变量的协方差矩阵为： 其中： 并记为 。 从协方差矩阵B出发，计算协方差矩阵B的特征根和特征向量。可以证明协方差矩阵A和方差矩阵B有相同的非零特征根。如果 为矩阵A的相应特征根 的特征向量，那么