一、SDB 炸弹的复合制导率

该部分主要参考论文：
梁卓, 管雪元, 孙瑞胜,等. 基于复合制导律的"惯性/卫星"制导炸弹投放域计算[J]. 弹道学报, 2007, 19(3):4.

GPS/INS 制导的 SDB 的一个典型特点是无动力，为了保证炸弹具有更远的射程，选择基于阻力优化的制导规律较为合适。而具有制导精度高、弹着角大的制导规律未必能够满足这个要求。GPS/INS 制导的 SDB 的另外一个特点是惯性/卫星组合导航系统高度信息误差很大，而该信号直接用于构造制导信号，在一般情况下将该信息用于炸弹的末制导过程将导致很大的脱靶量。为此在末制导阶段需要选择一个十分陡峭的飞行弹道，即弹着角要尽可能大，以有效消除高度测量误差的影响

综上所述，在卫星制导炸弹的整个制导过程中选择一种制导规律很难满足上述近乎矛盾的要求。解决问题的思路是采用复合制导律方案，制导过程为：炸弹投放且与载机可靠分离后，飞行控制模式采用先定攻角滑翔后末制导。定攻角制导律相对比较简单，就是指令炸弹保持大攻角滑翔飞行，将炸弹导向目标上空；而转入末制导阶段，采用具有弹着角约束的比例导引律将炸弹导向目标

二、SDB 炸弹六自由度运动方程及诸力

该部分主要参考论文：
刘魁, 张安. 激光制导炸弹投放域计算方法研究[J]. 弹箭与制导学报, 2009, 29(6):4.

参数说明

符号	参数含义
θ\thetaθ	弹道倾角
ψv\psi_vψv	航向角
γv\gamma_vγv	速度倾斜角
ϑ\varthetaϑ	俯仰角
ψ\psiψ	偏航角
α\alphaα	攻角
β\betaβ	侧滑角
X,Y,ZX,Y,ZX,Y,Z	速度坐标系上的阻力、升力、侧向力

建立方程的假设

把炸弹看作刚体，不考虑弹性形变，炸弹绕弹体转动无惯性
炸弹控制系统在理想状态下工作，无延迟和误差，无随机干扰
把地球看作是不旋转的平坦大地，忽略地球转动和曲率的影响
忽略风的影响

简化计算模型的建立

由上述假设条件，炸弹在飞行期间任意时刻都处于平衡条件即激光制导炸弹的操纵机构偏转时，作用在激光制导炸弹上的力矩在任一时刻都处于平衡状态，激光制导炸弹处于“瞬时平衡状态” 。由此将激光制导炸弹看作一个质点，只考虑其质心运动方程，可以将激光制导炸弹六自由度运动方程简化为如下方程：
{mdVdt=−X−mgsin⁡θmVdθdt=YBcos⁡γv−ZBsin⁡γv−mgcos⁡θ−mVcos⁡θdψvdt=YBsin⁡γv+ZBcos⁡γvdxdt=Vcos⁡θcos⁡ψvdydt=Vsin⁡θdzdt=−Vcos⁡θsin⁡ψv\left\{\begin{array}{l} m \frac{dV}{dt}=- X - mg \sin \theta \\ m V\frac{d\theta}{dt}=Y_B \cos \gamma_{v}-Z_B \sin \gamma_v - m g \cos \theta \\ -m V \cos \theta \frac{d\psi_v}{dt}=Y_B \sin \gamma_v+Z_B \cos \gamma_v \\ \frac{dx}{dt}=V \cos \theta \cos \psi_v \\ \frac{dy}{dt}=V \sin \theta \\ \frac{dz}{dt}=-V \cos \theta \sin \psi_v \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧mdtdV=−X−mgsinθmVdtdθ=YBcosγv−ZBsinγv−mgcosθ−mVcosθdtdψv=YBsinγv+ZBcosγvdtdx=Vcosθcosψvdtdy=Vsinθdtdz=−Vcosθsinψv
这是描述激光制导炸弹在空间内运动的方程组，既含有铅垂平面内的运动参数，又含有水平平面内的运动参数

运动方程在二维坐标下的分解

为了便于分析，本文把 SDB 炸弹在空间内的运动分解为纵向平面和横向平面上运动来进行。在分析炸弹的纵向平面的运动时，视其横向运动参数为零，那么：
cos⁡β=cos⁡γ=cos⁡γv=cos⁡ψv=1sin⁡β=sin⁡γ=sin⁡γv=0\cos \beta = \cos \gamma = \cos \gamma_v = \cos \psi_v = 1 \\ \sin \beta = \sin \gamma = \sin \gamma_v = 0 cosβ=cosγ=cosγv=cosψv=1sinβ=sinγ=sinγv=0

由此可以得到描述炸弹纵向运动的方程组

{mdVdt=−X−mgsin⁡θmVdθdt=Y−mgcos⁡θdxdt=Vcos⁡θdydt=Vsin⁡θ\left\{\begin{array}{l} m \frac{dV}{dt}=-X-m g \sin \theta \\ m V \frac{d\theta}{dt}=Y-m g \cos \theta \\ \frac{dx}{dt}=V \cos \theta \\ \frac{dy}{dt}=V \sin \theta \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧mdtdV=−X−mgsinθmVdtdθ=Y−mgcosθdtdx=Vcosθdtdy=Vsinθ
同理，在分析炸弹的侧向运动时，视其纵向运动参数为零，则有：
{mdVdt=−X−mVdψvdt=Zcos⁡ψvdxdt=Vcos⁡ψvdzdt=−Vsin⁡ψv\left\{\begin{array}{l} m \frac{dV}{dt}=-X \\ -m V \frac{d\psi_v}{dt}=Z\cos \psi_v \\ \frac{dx}{dt}=V \cos \psi_v \\ \frac{dz}{dt}=-V \sin \psi_v \end{array}\right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧mdtdV=−X−mVdtdψv=Zcosψvdtdx=Vcosψvdtdz=−Vsinψv

作用在炸弹上的空气动力

将炸弹在空中所受到的总空气作用力沿速度坐标系的 3 个方向oXoXoX、oYoYoY、oZoZoZ分解, 就得到阻力XXX、升力XXX、以及侧向力XXX，他们的计算公式如下：
{X=12ρV2SCxY=12ρV2SCyZ=12ρV2SCz\left\{\begin{array}{l} X=\frac{1}{2} \rho V^{2} S C_{x} \\ Y=\frac{1}{2} \rho V^{2} S C_{y} \\ Z=\frac{1}{2} \rho V^{2} S C_{z} \end{array}\right. ⎩⎨⎧X=21ρV2SCxY=21ρV2SCyZ=21ρV2SCz
其中，ρ\rhoρ为空气密度，VVV为炮弹速度，SSS为炮弹最大截面积，CxC_xCx为阻力系数，CyC_yCy为升力系数，CzC_zCz为侧向力系数，空气密度计算公式为：
ρ=1.225×(1−h44300)\rho = 1.225\times(1-\frac{h}{44300}) ρ=1.225×(1−44300h)
其中hhh为炸弹的高度

阻力及阻力系数系数

此处主要参考西北工业大学电子信息学院何建华老师编写的《航空外弹道学讲义》

在弹道学中，空气阻力的一般计算式与空气动力学中相似，即空气阻力：
R=ρV22SCW0(ρVdu,Va)R=\frac{\rho V^{2}}{2} S C_{W_{0}}(\frac{\rho V d}{u}, \frac{V}{a}) R=2ρV2SCW0(uρVd,aV)
其中，ddd为炮弹直径，aaa为当前高度音速，而根据实验可知：当弹丸运动速度在超音速区域时，空气压缩性影响很大，此时主要影响空气阻力的是马赫数M=VaM = \frac{V}{a}M=aV，而雷诺数的影响主要表现在马赫数小于 0.6 或大于 3 的范围。因为，此时附面层内的流动情况对空气阻力的影响起主要作用。在外弹道应用的弹丸速度范围内，我们可认为 CW0C_{W_0}CW0仅是马赫数MMM的函数，则此时有：
R=ρV22SCW0(Va)R=\frac{\rho V^{2}}{2} S C_{W_{0}}(\frac{V}{a}) R=2ρV2SCW0(aV)
其中CW0(Va)C_{W_{0}}(\frac{V}{a})CW0(aV)可查表得到其具体数值

升力及升力系数

此处主要参考
张美丽, 高晓光, 王庆江. 激光制导炸弹偏转投弹方式与投放域的研究[J]. 电光与控制, 2009(1):5.

升力系数CyC_yCy主要取决于VVV 、攻角α\alphaα和舵偏角δz\delta_zδz，在α\alphaα和δz\delta_zδz不大的情况下，升力系数可以表示为α\alphaα和δz\delta_zδz的线性函数：
Cy=Cyαα+CyδzδzC_y=C^\alpha_y\alpha+C^{\delta_z}_y\delta_z Cy=Cyαα+Cyδzδz
其中，CyαC^\alpha_yCyα是攻角的升力线斜率，为单位攻角所产生的升力系数；CyδzC^{\delta_z}_yCyδz是升降舵的升力线斜率，为单位升降舵偏角所产生的升力系数

侧向力及侧向力系数

侧向力与升力同理，侧向力系数如下：
Cz=Czββ+CzδyδyC_z=C^\beta_z\beta+C^{\delta_y}_z\delta_y Cz=Czββ+Czδyδy
其中，CzβC^\beta_zCzβ是侧滑角的侧向力线斜率，为单位侧滑角所产生的侧向力系数；CzδyC^{\delta_y}_zCzδy是方向舵的侧向力线斜率，为单位方向舵偏角所产生的侧向力系数

三、SDB 炸弹制导与控制

该部分主要参考论文：
刘魁, 张安. 激光制导炸弹投放域计算方法研究[J]. 弹箭与制导学报, 2009, 29(6):4.

在分析炸弹控制系统的时候，也将其分解为纵向和横向两个通道来进行研究。现作如下假设：俯仰操纵机构的偏转只取决于纵向运动参数，而偏航、倾斜操纵机构的偏转只取决于横向运动参数。而由于激光制导炸弹的轴对称布局，其纵向控制系统和横向控制系统的原理是一样的，文中采用的是经典 PID 控制：
{δy=kpek(ϑ)+ki∑n=0ken(ϑ)+kd[ek(ϑ)−ek−1(ϑ)]δz=kpek(ψ)+ki∑n=0ken(ψ)+kd[ek(ψ)−ek−1(ψ)]\left\{\begin{array}{l} \delta_y = k_p e_k(\vartheta)+k_i\sum^{k}_{n=0}e_n(\vartheta)+k_d[e_k(\vartheta) - e_{k-1}(\vartheta)] \\ \delta_z = k_p e_k(\psi)+k_i\sum^{k}_{n=0}e_n(\psi)+k_d[e_k(\psi) - e_{k-1}(\psi)] \end{array}\right. {δy=kpek(ϑ)+ki∑n=0ken(ϑ)+kd[ek(ϑ)−ek−1(ϑ)]δz=kpek(ψ)+ki∑n=0ken(ψ)+kd[ek(ψ)−ek−1(ψ)]
其中，ϑ\varthetaϑ为炸弹的俯仰角，ψ\psiψ为炸弹的偏航角，PID 控制三项系数需要根据输出的响应速度、稳态误差等指标进行选择

四、龙格-库塔法

此处主要参考
龙格库塔算法原理详解

在本文中，对于 SDB 炸弹运动方程的解算主要是通过龙格-库塔法来实现

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