（三十四）期权的盈亏图、平价公式和BS公式

期权到期时的盈亏图

欧式看涨期权的盈亏为max(S_T-K,0)，若考虑期权费就是max(S_T-K-c,-c)；欧式看跌期权的盈亏为max(K-S_T,0)，若考虑期权费就是max(K-S_T-p,-p)。下面以看跌期权为例，画出它到期时的盈亏图。需要注意的是np.maximum可以逐个比较array与数值，而np.max是求序列的最值，这里应该使用np.maximum函数。

有一投资者买入基础资产为100股Q股票、执行价格为50元/股的欧式看跌期权，每股的期权费为6元。假定Q股票现在的股价为56元，画出该看跌期权到期时多空头的盈亏图。

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
mpl.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus']=False
K=50;P=6;S0=56
S=np.linspace(30,70,100)
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121)
plt.plot(S,100*np.maximum(K-S,0),'r-',label='看跌期权多头收益图')
plt.plot(S,100*np.maximum(K-S-P,-P),'k--',label='看跌期权多头盈亏图')
plt.xlabel('股价')
plt.ylabel('payoff')
plt.title('看跌期权多头盈亏图')
plt.grid()
plt.legend()
plt.subplot(122)
plt.plot(S,-100*np.maximum(K-S,0),'r-',label='看跌期权空头收益图')
plt.plot(S,-100*np.maximum(K-S-P,-P),'k--',label='看跌期权空头盈亏图')
plt.xlabel('股价')
plt.ylabel('payoff')
plt.title('看跌期权空头盈亏图')
plt.grid()
plt.legend()

看涨-看跌期权平价公式

考虑两个组合：组合A：一份欧式看涨期权+Ke^-rt的现金；组合B：一份看跌期权+一份标的资产。

对于组合A，当到期S_T>K时，以手中的K去买标的资产，价值为S_T；到期S_T<K时，放弃行权，价值为手中的K；对于组合B，当到期S_T>K时，放弃行权，价值为S_T；到期S_T<K时行权，卖掉标的资产后手中价值为K。因此两个组合到期时的价值均为max(S_T,K)，那么当前的价值也相等，即P+S=C+Ke^-rt。

假设当前股价为20，执行价格为18，无风险利率为每年5%，3个月的欧式看涨期权报价为2.3，3个月的欧式看跌期权报价为0.2，通过平价公式判断期权价格的合理性，如何套利？

def c(p,s,k,r,t):return p+s-k*np.exp(-r*t)
def p(c,s,k,r,t):return c-s+k*np.exp(-r*t)
c(0.2,20,18,0.05,0.25)
Out[1]: 2.4235995911101327
p(2.3,20,18,0.05,0.25)
Out[2]: 0.07640040888986732
#可见看涨期权价格被低估，看跌期权价格被高估，可以买入组合A，卖出组合B：
payoff=-2.3-18*np.exp(-0.05*0.25)+0.2+20
payoff
Out[3]: 0.12359959111013197

用BS公式计算期权价格

其中N(·)为标准正态分布的累积分布函数。假设有一份期限为六个月的股票期权，标的资产股票价格为5.29元，期权执行价格为6元，年化无风险利率和年化波动率分别为4%和24%，用BS公式求看涨期权和看跌期权的价格。

from scipy.stats import norm
def bscall(S,K,r,sigma,t):d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))d2=(np.log(S/K)+(r-0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))return S*norm.cdf(d1)-K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(d2)
def bsput(S,K,r,sigma,t):d1=(np.log(S/K)+(r+0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))d2=(np.log(S/K)+(r-0.5*sigma**2)*t)/(sigma*np.sqrt(t))return -S*norm.cdf(-d1)+K*np.exp(-r*t)*norm.cdf(-d2)
print('看涨期权价格为{:.4f},看跌期权价格为{:.4f}。'.format(bscall(5.29,6,0.04,0.24,0.5),bsput(5.29,6,0.04,0.24,0.5)))看涨期权价格为0.1532,看跌期权价格为0.7443。

如果在权利期间内支付红利，只需将S修改为S减去红利的现值，红利的现值可以由sum(d*exp(-rf *t))来计算，其中d和t以array或Series格式传入。