列向量和行向量看待矩阵乘法

声明：仅个人小记
前言：主要是引入一个新的看待矩阵乘法的角度觉得这个挺重要的，故做记录

列向量角度，矩阵左乘

AB = C
结合上图，我们可以知道，结果矩阵C中的第 j 列完全可以表示为矩阵A中列向量的线性组合，具体怎样的线性组合完全是参看矩阵B中相应的第 j 列，与矩阵B中的其他列无关。

换言之，左侧矩阵提供基本的列向量，右侧的矩阵交代怎样的线性组合。

行向量角度，矩阵右乘

AB = C
结合上图，结果矩阵C中的第i行完全可以表达为矩阵B中的行向量的线性组合，具体如何进行线性组合，完全参看矩阵A中相应的第i行，与矩阵A中的其他行无关。
右侧矩阵提供基本的行向量，左侧矩阵交代进行怎样的线性组合，结果矩阵便是线性组合的结果。

根据上述讨论，解释两个定理

定理一
矩阵方程AX = B 有解的充分必要条件是R(A) = R(A,B)

上面的总结可以很好的解释下面这个定理，即

R(A) ：矩阵A的秩
(A,B) ：即两个矩阵水平按左右放在一起构成一个新的矩阵C。

由上面知道，B中的每一列都可以表达为A中的列向量进行线性组合，所以**(A,B)中的B部分是可以通过初等变换被左边的A**完全消化，即，B的引入并没有树立新的独立的维度。
定理二
对于矩阵A,B , 有 R(AB) <= min{R(A),R(B)}
AB 是矩阵A和矩阵B的乘积结果，记作C。

由上面的分析，可以知道，结果矩阵C中的所有向量都是可以表达为矩阵A的线性组合。我们可以进一步考虑C中能有多少个列向量呢？显然，结果矩阵C中的列向量的数目是由矩阵B的列数决定的。这里的讨论先暂停一下。

我们来讨论一下矩阵的秩，
- 矩阵的秩是可以看作是矩阵列(行)向量张成的空间的维度。
- 矩阵的秩 <= min{该矩阵行数，该矩阵列数}
- 从N维度空间中任意选出一组向量，以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过N。
- 从N维度空间中任意选出M个向量，以这组向量为基向量重新构建的空间的维度一定不会超过M。
所以，由于结果矩阵C中的列向量都是选自由矩阵A的列向量为基向量张成的空间。所以C中列向量张成的空间的维度一定不超过矩阵A的列向量张成的空间的维度，即矩阵A的秩。即得到 R(AB) = R© <= R(A)。

同样，我们再从行向量的角度看待AB。结果矩阵C中的行向量都是选自由矩阵B的行向量为基向量所张成的空间。所以结果矩阵C中行向量张成的空间的维度一定不超过矩阵B的行向量张成的空间的维度，即矩阵B的值。从而得到R(AB) = R© <= R(B)。

根据上述讨论，得到R(AB) <= {R(A),R(B)}

列向量和行向量看待矩阵乘法相关推荐

矩阵乘法的四种理解方式
先介绍向量的两种运算,一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积,又叫作点积,结果是一个数: 一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积,外积是一种特殊的克罗内克积,结果是一个矩阵, 假设和b分别是一个行向量 ...
数组、列向量和行向量区别
Numpy库学习--向量表示在机器学习和深度学习的编程过程中,为了提高程序的运行速度,通常将模型表达式转换为向量表达式(向量化),即利用矩阵运算思想提高运行效率.那么,在Python中究竟如何利用N ...
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量
线性代数矩阵乘法中的行向量和列向量在矩阵中有两个概念,行向量与列向量,这是从两个不同的角度看待矩阵的组成.这篇文章将从行向量和列向量两个角度来分解矩阵的乘法. 假设有两个矩阵A和B 一般矩阵的乘法分 ...
python numpy 矩阵乘法以及列向量与行向量乘法
最近在熟悉python的科学计算,对于numpy的矩阵运算进行一些总结,和matlab还是很不一样的 import numpy as np 1.矩阵乘法 np.dot(a,b),但a,b都为一维矩阵的 ...
matlab简单分析矩阵乘法——一阶行向量乘一阶列向量
A=[1,2,3],B=[321]A=\begin{bmatrix} 1,&2,&3 \end{bmatrix},B=\begin{bmatrix} 3\\ 2\\ 1 \end{bm ...
行向量，列向量，行主序矩阵，列主序矩阵
原理: PS: 很不喜欢OGL的列矩阵方式,不过本质上是一样的. v2 = v1 * ma * mb; (dx) v2 = mb(T) * ma(T) * v1 (ogl) 关于这个话题,网 ...
循环取矩阵的某行_1.2 震惊! 某大二本科生写的矩阵乘法吊打Mathematica-线性代数库BLAS-矩阵 (上)...
本文是 1. 线性代数库BLASzhuanlan.zhihu.com 系列的第二篇, 将讲述矩阵类的结构和矩阵基础运算的AVX2加速算法. 1. 矩阵类的结构在讲述矩阵各种算法之前很有必要详解一下 ...
稀疏矩阵加法运算_1.2 震惊! 某大二本科生写的矩阵乘法吊打Mathematica-线性代数库BLAS-矩阵 (上)...
本文是 1. 线性代数库BLASzhuanlan.zhihu.com 系列的第二篇, 将讲述矩阵类的结构和矩阵基础运算的AVX2加速算法. 1. 矩阵类的结构在讲述矩阵各种算法之前很有必要详解一下 ...
2.6 矩阵乘法重要特例
重要特例 AmnA_{mn}Amn , BnpB_{np}Bnp 两个矩阵相乘,当 m,n,pm,n,pm,n,p 有的为 111 时,是极其重要的特例,具有重要意义. 定义列向量列数为 11 ...

列向量和行向量看待矩阵乘法

列向量角度，矩阵左乘

行向量角度，矩阵右乘

根据上述讨论，解释两个定理

列向量和行向量看待矩阵乘法相关推荐

最新文章

热门文章