2021HDU多校第四场5-Didn‘t I Say to Make My Abilities Average in the Next Life?!

题目链接HDU 6989

题意：
有一个序列 {ana_nan} 给定m个询问，每次给定 l,rl,rl,r ，随机在 [l,r][l,r][l,r] 中选出一个子区间，计算平均值。这里平均值的定义为 (max{al,...,ar}+min{al,...,ar})/2(max\{a_l, ... , a_r\} + min \{a_l, ..., a_r \}) / 2(max{al,...,ar}+min{al,...,ar})/2，求[l,r][l,r][l,r]平均值的期望。

思考：
首先该问题的平均值可以分为最大值和最小值来分别求。
这道题如果只是单纯的考虑[1,n][1,n][1,n]，那么就是一个经典的单调栈维护每个 aia_iai 的为最值的区间。
但是考虑对于有多个询问，我们考虑如何来实现。
我们离线该问题，然后依旧采用枚举右端点，然后去查询左端点的方式来解决问题。
如果对于每个右端点rrr，我们都处理左端点 1−r1-r1−r 到它的最值（下面以最大值为例），用 A[R,i]A[R, i]A[R,i] 来表示该值。
对于 A 矩阵，我们可以知道，每次查询的的就是从 A[L,L]A[L,L]A[L,L] 到 A[R,R]A[R,R]A[R,R] 的子矩阵。
考虑如何去维护这个矩阵？
这里引入一个经典问题—线段树维护历史信息和
我们对于第 i 行，知道了 A[i][1]...A[i][i]A[i][1] ... A[i][i]A[i][1]...A[i][i] ，那么对于 A[i+1]A[i + 1]A[i+1] 的这一行，只会改变 a[i+1]a[i +1]a[i+1] 为最值的那个区间，即从上一个比 a[i+1]a[i+1]a[i+1] 大的那个元素后一个开始，到 i+1i + 1i+1 ，这一段区间都是的值都是 a[i+1]a[i +1]a[i+1]。这样对每个 A[i]A[i]A[i] 可以用一棵线段树来维护，而上一个大于它的可以用单调栈来维护。

由于这道题可以离线，我们可以用一棵线段树，采用树状数组类似的方式来维护每一个A[][j]A[][j]A[][j]，在 A[i][j]A[i][j]A[i][j] 第一次出现的时候，给后面每一行这个位置都加上 A[i][j]A[i][j]A[i][j] ，然后在被替换的时候，后面每一行都减去 A[i][j]A[i][j]A[i][j] ，这样的话可以采用在第一次出现的第 iii 行加上 (n+1−i)∗A[i][j](n+1-i) * A[i][j](n+1−i)∗A[i][j]，被替换的第 kkk行减去 (n−k+1)∗a[k−1][j](n-k+1)*a[k-1][j](n−k+1)∗a[k−1][j] ，然后两者作差一下就是在第 i 行减去 i∗A[i][j]i*A[i][j]i∗A[i][j] ，第 k 行加上 k∗A[i][j]k *A[i][j]k∗A[i][j]，这样就的更新就是 O(n)O(n)O(n) 次的。

本来这道题还要维护 tag，但是可以发现加入新的值的时候，一定会先删除掉前面的点。但是覆盖的时候还是需要tag，这里可以采用一种比较巧妙的方法，直接记录这个区间对应叶子节点的值（如果都一样的话），这样的话，就可以直接通过这个记录的值来达到 tag 的效果。

对于强制在线的情况，可以采用可持久化线段树的方式，更新是 O(n)O(n)O(n) 级别的，所以最多新建 O(nlog2n)O(n log_2n)O(nlog2n) 个点。复杂度是可以接受的。

#include<bits/stdc++.h>
#define For(aa, bb, cc) for(int aa = (bb); aa <= (int)(cc); ++aa)
#define mk make_pair
using namespace std;
using Pair = pair<int, int>;
typedef long long LL;
const int maxn = 2e5 + 10;
constexpr int mod = 1e9 + 7;
int n, m;
int a[maxn];
vector<Pair> G[maxn];
int stmax[maxn], topa, stmin[maxn], topi;
LL ans[maxn];LL qpow(LL x, LL y = mod - 2){LL res = 1;while(y){if(y & 1) res = res * x % mod;x = x * x % mod;y >>= 1;}return res;
}void fadd(LL &x, LL y){x += y;if(x >= mod) x -= mod;
}#define lr (node << 1)
#define rr (node << 1 | 1)
#define mid ((l + r) >> 1)LL sum[maxn << 3], tr[maxn << 3];
LL point[maxn << 3], pointid[maxn << 3];
//sum: history sum, tr: now val; only cover the intervalvoid update(int node, int l, int r, int L, int R, int val, int id){fadd(sum[node], mod - 1ll * (R - L + 1) * val % mod * id % mod);fadd(tr[node], 1ll * (R - L + 1) * val % mod);//cout<<node<<" "<<l<<" "<<r<<" "<<val<<" "<<id<<" ";//cout<<sum[node]<<" "<<tr[node]<<endl;if(L <= l && r <= R){fadd(point[node], val);fadd(pointid[node], mod - 1ll * val * id % mod);//cout<<l<<" "<<r<<" "<<point[node]<<" "<<pointid[node]<<endl;return ;}if(R <= mid) return update(lr, l, mid, L, R, val, id);else if(L > mid) return update(rr, mid + 1, r, L, R, val, id);update(lr, l, mid, L, mid, val, id);update(rr, mid + 1, r, mid + 1, R, val, id);
}LL query(int node, int l, int r, int L, int R, int id){if(L <= l && r <= R) return (1ll * id * tr[node] + sum[node]) % mod;LL ans = 1ll * (point[node] * id % mod + pointid[node]) * (R - L + 1) % mod;if(R <= mid) ans += query(lr, l, mid, L, R, id);else if(L > mid) ans += query(rr, mid + 1, r, L, R, id);else return ans += query(lr, l, mid, L, mid, id) + query(rr, mid + 1, r, mid + 1, R, id);return ans % mod;
}#undef lr
#undef rr
#undef midvoid solve(){topa = topi = 0;For(i, 1, n){while(topa && a[stmax[topa]] <= a[i]){update(1, 1, n, stmax[topa - 1] + 1, stmax[topa], mod - a[stmax[topa]], i);--topa;}while(topi && a[stmin[topi]] >= a[i]){update(1, 1, n, stmin[topi - 1] + 1, stmin[topi], mod - a[stmin[topi]], i);--topi;}/*printf("stmax: ");For(j,1,topa) printf("%d ", stmax[j]);puts("");printf("stmin: ");For(j,1,topi) printf("%d ", stmin[j]);puts("");*/update(1, 1, n, stmax[topa] + 1, i, a[i], i);stmax[++topa] = i;update(1, 1, n, stmin[topi] + 1, i, a[i], i);stmin[++topi] = i;for(auto u: G[i]){int l = u.first, r = i, id = u.second;ans[id] = query(1, 1, n, l, r, i + 1) % mod;//printf("ans: %lld\n",ans[id]);ans[id] = ((mod + 1) >> 1ll) * ans[id] % mod * qpow(1ll * (r - l + 1) * (r - l + 2) / 2 % mod) % mod;}}
}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt", "r", stdin);freopen("out.txt", "w", stdout);
#endifint _;scanf("%d", &_);while(_--){scanf("%d%d", &n ,&m);For(i, 1, n) scanf("%d", &a[i]);For(i, 1, n) G[i].clear();For(i, 1, n << 2) sum[i] = tr[i] = point[i] = pointid[i] = 0;For(i, 1, m){int x, y;scanf("%d%d", &x, &y);G[y].push_back(mk(x, i));}solve();For(i, 1, m) printf("%lld\n", ans[i]);}return 0;
}

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