无论是牛顿插值还是拉格朗日插值，都只能保证在节点处的函数值没有误差。hermite插值更加复杂，可以保证一阶导数也连续，目前常用的是三次样条插值

一、三次样条插值概念

不超过3次
节点处无误差
一阶导数和二阶导数节点处无误差

如果函数值和函数在点的倒数值是已知的，也就是我们有一下的已知条件

这不就是hermite插值的已知条件吗，我们可以利用Hermite插值先进行一次插值：

但是此时其实我们是不知道 m i m_i mi的值的，所以我们需要求出他，而现在我们只剩下了一个条件，端点处二阶导数连续：令 h i h_i hi表示 i − i + 1 i-i+1 i−i+1区间的长度，将 s ( x ) s(x) s(x)转化成下面的形式

然后我们求一个二阶导数：

因为我们的二阶导数需要在端点处连续，也就是说在 [ x i , x i − 1 ] [x_i,x_{i-1}] [xi,xi−1]区间的 s ′ ′ ( x i ) s''(x_i) s′′(xi)要等于区间 [ x i − 1 , x i ] [x_{i-1},x_i] [xi−1,xi]上二阶导数的对 x i x_i xi的值，所以我们将上式的下标 i i i换成 i − 1 i-1 i−1，

此时我们根据区间端点处二阶导数连续的定义，得到下面的等式：
变化不复杂，就是简单的移相合并而已

画圈的部分是我们必须化为1的部分，只有这样我们才能吧 m i m_i mi单独拿出来，进行一系列的化简：

这不就是一个关于 m i m_i mi的方程组

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