区间二分法（Bisection Method）迭代求根的python程序

迭代法的作用

许多复杂的求解问题，都可以转换成方程f(x)=0的求解问题。这一系列的解叫做方程的根。对于非线性方程的求解，在自变量范围内往往有多个解，我们将此变化区域分为多个小的子区间，对每个区间进行分别求解。我们在求解过程中，选取一个近似值或者近似区间，然后运用迭代方法逐步逼近真实解。
方程求根的常用迭代法有：二分法、不动点迭代、牛顿法、弦截法。

二分法

求实根最简单有效的方法：二分法。易于在计算机上实现，且对于函数f(x)的性质要求不高，仅仅要求它在有根区间上连续，且区间端点的函数值异号即可。它的缺点是不能求偶数重根，也不能求复根，收敛速度与以1/2为公比的等比数列相同，不算太快，因此一般在求方程近似根时，不太单独使用，常用它来为其他方法求方程近似根提供好的初值区间（重要：初值区间的确定直接决定求解的速度）。

二分法基本思想

把函数f(x)的零点所在的区间[a，b]（满足f(a）×f(b）<0）“一分为二”，得到[a，m]和[m，b]。根据“f(a)●f(m)<0”是否成立，取出零点所在的区间[a，m]或[m，b]，仍记为[a，b]。所对得的区间[a，b]重复上述步骤，直到包含零点的区间[a，b]“足够小”，则[a，b]内的数可以作为方程的近似解。

二分法计算步骤

详细步骤：

例题

求方程式：x3 - 0.165*x2 + 3.993*10**(-4) = 0在（0，0.11）的根

牛刀小试
代码：

xl = 0
xu = 0.11def f(x):f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)  #需要求根的函数return ffor i in range(100):     #进行100次迭代，迭代次数自己定xm = (xl + xu) / 2if f(xm) == 0:breakelse:passif f(xl) * f(xm) < 0:xl =xlxu = xmelif f(xl) * f(xm) > 0:xl = xmxu = xuelse:break
print(xl , xu)
print('方程的根为：', (xl + xu) / 2)

结果：

0.06237758151374948 0.06237758151374953
方程的根为： 0.0623775815137495

约定一个误差，当误差小于某个数值的时候，迭代停止
代码如下：

xl = 0
xu = 0.11def f(x):f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)  #需要求根的函数return fxm_list = []
m = 0
while True:xm = (xl + xu) / 2xm_list.append(xm)m += 1if f(xm) == 0:breakelse:passif f(xl) * f(xm) < 0:xl =xlxu = xmelif f(xl) * f(xm) > 0:xl = xmxu = xuelse:breakif len(xm_list) > 1:error = abs((xm_list[-1] - xm_list[-2]) / xm_list[-1])if error < 10 ** (-6):print(f'迭代第{m}次后，误差小于10^(-6)，误差为{error}')breakelse:pass
print(xl , xu)
print(f'得到方程的根为：{(xl + xu) / 2}')

结果：

迭代第21次后，误差小于10^(-6)，误差为8.408809405129639e-07
0.062377543449401864 0.062377595901489266
得到方程的根为：0.06237756967544557

迭代至电脑默认误差为0

xl = 0
xu = 0.11def f(x):f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)  #需要求根的函数return fm = 0
while True:xm = (xl + xu) / 2m += 1if f(xm) == 0:breakelse:passif f(xl) * f(xm) < 0:xl =xlxu = xmelif f(xl) * f(xm) > 0:xl = xmxu = xuelse:break
print(xl , xu)
print(f'迭代第{m}次后,误差为0，得到方程的根为：{(xl + xu) / 2}')

结果：

0.06237758151374948 0.06237758151374953
迭代第52次后,误差为0，得到方程的根为：0.0623775815137495

画迭代图
代码：

import matplotlib.pyplot as plt
xl = 0
xu = 0.11def f(x):f = x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)  #需要求根的函数return fxm_list = []
x_values = []
y_values = []
m = 0
while True:xm = (xl + xu) / 2xm_list.append(xm)m += 1if f(xm) == 0:breakelse:passif f(xl) * f(xm) < 0:xl =xlxu = xmelif f(xl) * f(xm) > 0:xl = xmxu = xuelse:breakif len(xm_list) > 1:error = abs((xm_list[-1] - xm_list[-2]) / xm_list[-1])x_values.append(m)y_values.append(error)if error == 0:breakelse:pass
print(f'xl={xl},xu={xu}')
print(f'迭代第{m}次后，误差为0,得到方程的根为：{(xl + xu) / 2}')#设置绘图风格
plt.style.use('ggplot')
#处理中文乱码
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['Microsoft YaHei']
#坐标轴负号的处理
plt.rcParams['axes.unicode_minus']=False
#横坐标是迭代次数
#纵坐标是误差值
plt.plot(x_values,y_values,color = 'steelblue', # 折线颜色marker = 'o', # 折线图中添加圆点markersize = 3, # 点的大小)
# 修改x轴和y轴标签
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('误差值')
# 显示图形
plt.show()

结果：

xl=0.06237758151374948,xu=0.06237758151374953
迭代第52次后，误差为0,得到方程的根为：0.0623775815137495

对比牛顿迭代法，牛顿迭代法要快很多，而且准确率也高
牛顿迭代法（Newton’s Method）迭代求根的Python程序

不用迭代，直接得到高次方程的解：

from sympy import *
from sympy.abc import xdef func(x):return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
result = solve(func(x),x)
print(result)

结果：

[-0.0437370862084818 + 0.e-24*I, 0.0623775815137495 + 0.e-22*I, 0.146359504694732 - 0.e-24*I]

【问题】：
0.e-24*I 到底是什么含义呢？
有路过的大神看到了，请帮忙在评论区解答一下
【解答】：

from sympy import *
from sympy.abc import xdef func(x):return x**3 - 0.165*x**2 + 3.993*10**(-4)
result = solveset(func(x), x, Interval(-1, 1))
print(result)

结果：

FiniteSet(-0.0437370862084818, 0.0623775815137495, 0.146359504694732)

所以0.e-24*I 的含义是精度