蓝桥杯练习——不定方程解法

问题

对形如ax+by=c的不定方程求它的解

分析

一般会采用暴力破解的方法，即在给定数据区间内进行循环，然后找到符合条件的输出。但是这样要用到两重循环，对于数据体量大的情况解决效率很低

解决

ax+by=c

即：ax=c-by

只需要找到一个y满足c-by可以被a整除即可找到一个解，一重循环

1.从小到大尝试，求出一个特解：x0，y0

2.求通解：x=x0+at；y=y0-bt；t根据题目取值-1，-2，0 ，1，2，3等

代码

import java.util.Scanner;
/** 求解：ax+by=c * ax=c-by* */
public class MaiBuDao {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scanner=new Scanner(System.in);int a=scanner.nextInt();int b=scanner.nextInt();int c=scanner.nextInt();int x=0,y=0,i,t,x0=0,y0=0;for(i=0;i<=10000;i++) {if((c-b*i)%a==0) {y0=i;x0=(c-b*i)/a;break;}}for(t=0;t<=1000;t++) {x=x0+a*t;y=y0-b*t;System.out.println(x+" "+y);}}
}

延申

大部分题目不会简单的让求一个公式的解，更多的会变换一些方式。

比如有的题可能和不等式的解法这一个公式关系不大，主要是对原有的问题变换一种解题思路

例题——鲜花数

视频学习

问题

一个N位的十进制正整数 ,如果它的每个位上的数字的N次方的和等于这个数本身,则称其为花朵数。例如:
当N=3时, 153就满足条件,因为1^3 + 5^3 + 3^3 = 153 ,这样的数字也被称为水仙花数
(其中， “入”表示乘方, 5^3表示5的3次方,也就是立方) .
当N=4时， 1634满足条件,因为1^4 + 6^4 + 3^4 + 4^4= 1634.
当N=5时, 92727满足条件。
实际上,对N的每个取值,可能有多个数字满足条件。
程序的任务是 :求N最大为21时 ,所有满足条件的花朵数。注意:当N=21时，这个整数有21位 ,它的各个位数字的21次方之和正好等于这个数本身。
如果满足条件的数字不只有一个,请从小到大输出所有符合条件的数字,每个数字占-行。因为这个数字很大,请注意解法时间上的可行性。

【输入】一个整数N

【输出】所有满足的数

思路

这道题很像“水仙花数”，“玫瑰花数”，一般都是直接暴力破解。比如这样的：

public class RoseNum {public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubint i,j,x,sum=0;for(i=100;i<=999;i++) {j=i;while(j>0) {x=j%10;sum+=(x*x*x);j/=10;}if(sum==i) {System.out.println(i);}sum=0;}}
}

但是，如果幂的次数达到21的话直接循环肯定是行不通的

假如某个数是它各个位置上的和，那么如果将这数某两位交换位置也并不影响最后算出的总和。所以大致思路就是先算出0-9每个数的N次幂，存在一个数组baseBigIntegers中，对于每个数字数字的次数，用一个数组num来存储。

所有出现的数字的21次幂乘以出现次数算出总和，再看总和中每个数字出现的次数和原数每个数字出现次数比较，如果相等，则是所求答案。

baseBigIntegers数组：存放0-9的N次幂

num数组：0-9各出现几次

sumn数组：和的各位数字各出现几次

cal函数：用来计算0-9的N次幂

其中，用到BigInteger类，这个类适用于体量非常大的大整数，常用方法.ONG置一，.ZERO置零，.valueOf()取得某数的数值，.multiply()乘，.add加。

fun函数：用来试探num数组的各位可以置成什么值

k代表当前进行到0-9中的哪个数，sum代表剩余名额。因为所有数字总共出现N次，所以每次从0-sum试探，而进入下一层递归的时候sun要减去已经置好的次数。

test函数：用来判断置的这一组值是否符合要求

代码

import java.math.BigInteger;
import java.util.Scanner;
public class Flowers {public static int N;public static BigInteger[] baseBigIntegers=new BigInteger[10]; //存放每个数字的21次方public static BigInteger cal(int n) {BigInteger aBigInteger=BigInteger.ONE;int i;for(i=0;i<N;i++) {aBigInteger=aBigInteger.multiply(BigInteger.valueOf(n));}return aBigInteger;}public static void test(int[] num) {int i;BigInteger sumnBigInteger=BigInteger.ZERO;for(i=0;i<num.length;i++) {sumnBigInteger=sumnBigInteger.add(baseBigIntegers[i].multiply(BigInteger.valueOf(num[i])));}       //算出总和String string=sumnBigInteger.toString();if(string.length()!=N)return;int sumn[]=new int[10];for(i=0;i<string.length();i++) {sumn[string.charAt(i)-'0']++;}for(i=0;i<10;i++) {     //两边次数相等即是答案if(sumn[i]!=num[i])return;}System.out.println(sumnBigInteger);}public static void fun(int[] num,int k,int sum) {int i;if(sum==0) {     //试探次数用完了test(num);return;}if(k==num.length-1) {     //试到最后一位，次数全是最后一位的num[k]=sum;test(num);return;}for(i=0;i<=sum;i++){    num[k]=i;         //先试试能否置成这个次数fun(num, k+1, sum-i);   //试探下一位，名额-用掉的num[k]=0;       //回溯}}public static void main(String[] args) {// TODO Auto-generated method stubScanner scanner=new Scanner(System.in);N=scanner.nextInt();//对0-9求21次方，存放在base数组中int i;for(i=0;i<baseBigIntegers.length;i++) {baseBigIntegers[i]=cal(i);}//定义一个数组num记录每个数字出现几次int []num=new int[10];//查找，fun函数，num[]，进行到第几个k，还剩几个名额sumfun(num,0,N);}
}

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蓝桥杯练习——不定方程解法2021.2.23

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