100个人，100盏灯，全部熄灭，第一人过去按所有灯的开关，第二个人会每隔一盏灯按开关，第三个人每隔2盏灯按开关，以此类推，第100人隔99盏灯按开关，100个人都走完，剩多少盏灯亮着？
100个人，100盏灯，全部熄灭，第一人过去按所有灯的开关，第二个人会每隔一盏灯按开关，第三个人每隔2盏灯按开关，以此类推， 第100人隔99盏灯按开关。
问：100个人都走完，剩多少盏灯亮着？
总结来说，所有人都是按他自己编号的倍数的灯（编号都是从1开始），也就是说：1 号人按所有灯，2 号人按 2 4 6 8 10 号灯，三号人按 3 6 9 号灯，依次类推。
我们可以发现：一盏灯如果被按了奇数次，最后就是亮着的；被按了偶数次，最后就是灭的。而一盏灯被按的次数，就是它编号的约数的个数，比如 1 号灯约数就一个 1 所以亮，2 号灯约数是 1 和 2所以灭，3 号灯约数是 1 和 3 所以灭，4 号灯约数是 1、2、4 所以亮，16号灯约数是 1、2、4、8、16 所以亮。。以此类推。
通过归纳总结，可以看出，只有完全平方数的约数个数为奇数，所以只有完全平方数编号的灯，最后是亮着的，100盏灯的话就是 1、4、9、16、25、36、49、64、81、100（也就是1 到 10 这 10 个数的平方），共十盏灯。
证明：正整数n为完全平方数的充分必要条件是n的正约数个数是奇数个
上边是通过归纳总结看出来的结论，但其实是可以证明的，分为充分性和必要性两方面证明：
充分性（完全平方数正约束个数一定是奇数）
- n = 1 时，正约数 1 个，是奇数；
- n > 1 时，n2 的约数: 1 … n … n2，且 1 和 n 之间每多一个约数，例如m，那么 n 到 n2 之间就会多一个约数 n2/m，也就是说除了 1、n、n2自身 这三个约数，其他的约数是成对出现的，也就是说约数的总个数为 3 + 偶数，结果必为奇数。
必要性（正约数个数为奇数的正整数一定为完全平方数）
- 1 的约数是 1，只有一个，且 1 是完全平方数
- 如果一个数的公约数是 1 和他本身，那它就是质数，肯定不是完全平方数
- 如果一个数 m 的公约数除 1 和他本身，还有其他的公约数，我们设其中一个数为 p，那么必定存在一个约数 m/p，也就是说公约数是成对出现的，除非这两个数相等，也就是同一个数，否则公约数的个数就肯定是偶数，所以m 有完全平方根时，公约数个数是奇数；m 没有完全平方根时，公约数个数是偶数。
所以正约数个数为奇数的，一定是完全平方数。
100个人，100盏灯，全部熄灭，第一人过去按所有灯的开关，第二个人会每隔一盏灯按开关，第三个人每隔2盏灯按开关，以此类推，第100人隔99盏灯按开关，100个人都走完，剩多少盏灯亮着？相关推荐
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