UA MATH567 高维统计II 随机向量8 图的max-cut问题 0.5近似算法

UA MATH567 高维统计II 随机向量8 图的Max-cut问题 0.5近似算法

前两讲讨论了随机向量的概率不等式的一个应用：半正定规划近似求解整数规划，这一讲我们讨论它的另一个应用——图的max-cut问题。

问题描述

考虑图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)，max-cut的问题是如何画一条曲线，使得与曲线相交的边数最多，记此时的边数为MAX−CUT(G)MAX-CUT(G)MAX−CUT(G)，现在我们的目标是设计一个算法，输入图GGG，输出MAX−CUT(G)MAX-CUT(G)MAX−CUT(G)。

我们尝试给出一个正式的定义：
MAX−CUT(G)=max⁡V=V1⊔V2{∣E12∣:(v1,v2)∈E12⊂E,v1∈V1,v2∈V2}MAX-CUT(G) \\= \max_{V = V_1 \sqcup V_2}\{|E_{12}|:(v1,v2) \in E_{12} \subset E,v_1 \in V_1,v_2 \in V_2\}MAX−CUT(G)=V=V1⊔V2max{∣E12∣:(v1,v2)∈E12⊂E,v1∈V1,v2∈V2}

也就是说把图的顶点分割为两类，计算连接不同类顶点的边数，目标是找一种分类方法使得这样的边数最大。

用整数规划建模

接下来我们可以试着建个模，用AAA表示nnn阶无向图G=(V,E)G=(V,E)G=(V,E)的伴随矩阵，
Aij={1,(vi,vj)∈E0,(vi,vj)∉EA_{ij} = \begin{cases} 1, (v_i,v_j) \in E \\ 0, (v_i,v_j) \notin E \end{cases}Aij={1,(vi,vj)∈E0,(vi,vj)∈/E

用x=(x1,⋯,xn)∈{−1,1}nx = (x_1,\cdots,x_n) \in \{-1,1\}^nx=(x1,⋯,xn)∈{−1,1}n表示顶点的分类，等于1的是一类，等于-1的是另一类，则给定xxx作为一个分割，我们可以计算出它"切开"的边数为
CUT(G,x)=12∑xixj=−1AijCUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum_{x_ix_j=-1}A_{ij}CUT(G,x)=21xixj=−1∑Aij

首先这个是一个无向图，所以AijA_{ij}Aij对称，我们需要除以1/2；其次我们要计算的是EEE中连接不同类顶点的边数，我们用xi=1,−1x_i=1,-1xi=1,−1表示顶点iii的类别，那么顶点i,ji,ji,j不同类说明xixj=−1x_ix_j=-1xixj=−1。

因为xixj=−1or1x_ix_j=-1\ or 1xixj=−1 or1，于是我们可以用1−xixj1-x_ix_j1−xixj代替求和中的约束xixj=−1x_ix_j=-1xixj=−1，只是这样的话在xixj=−1x_ix_j=-1xixj=−1的时候结果就等于2了，所以我们额外再除以2，因此
CUT(G,x)=12∑xixj=−1Aij=14∑i,jAij(1−xixj)=14∑i,jAij−14∑i,jAijxixjCUT(G,x)=\frac{1}{2}\sum_{x_ix_j=-1}A_{ij} = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}-\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} x_ix_jCUT(G,x)=21xixj=−1∑Aij=41i,j∑Aij(1−xixj)=41i,j∑Aij−41i,j∑Aijxixj

第一项是常数，于是
MAX−CUT(G)=max⁡xCUT(G,x)⇔min⁡x∈{−1,1}nxTAxMAX-CUT(G)=\max_x CUT(G,x) \Leftrightarrow \min_{x \in \{-1,1\}^n} x^TAxMAX−CUT(G)=xmaxCUT(G,x)⇔x∈{−1,1}nminxTAx

这样我们就把图的Max-cut问题用整数规划表示出来了，遗憾的是这个问题是NP问题，我们需要设计一些算法来做优化。但作为高维统计理论的一个应用，我们对设计算法并不感兴趣，我们想做的是找到MAX−CUT(G)MAX-CUT(G)MAX−CUT(G)的上界和下界，从而为算法的效率与误差分析提供一点帮助。

我们先把这个问题随机化，假设x∼Unif({−1,1}n)x \sim Unif(\{-1,1\}^n)x∼Unif({−1,1}n)，则
ECUT(G,x)=12∣E∣≥12MAX−CUT(G)ECUT(G,x)=\frac{1}{2}|E| \ge \frac{1}{2}MAX-CUT(G)ECUT(G,x)=21∣E∣≥21MAX−CUT(G)

说明
ECUT(G,x)=E14∑i,jAij(1−xixj)=14∑i,jAij(1−Exixj)=14∑i,jAij(1−ExiExj)=14∑i,jAij=12∣E∣ECUT(G,x) =E\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-x_ix_j) = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_ix_j) \\ = \frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij}(1-Ex_iEx_j) =\frac{1}{4}\sum_{i,j}A_{ij} = \frac{1}{2}|E|ECUT(G,x)=E41i,j∑Aij(1−xixj)=41i,j∑Aij(1−Exixj)=41i,j∑Aij(1−ExiExj)=41i,j∑Aij=21∣E∣

也就是说我们按均匀分布的思路随机对每个顶点分类，这样得到的分割平均可以“切开”一半的边，称这个结果为0.5-approximation algorithm。另外，MAX−CUT(G)≤∣E∣MAX-CUT(G) \le |E|MAX−CUT(G)≤∣E∣是肯定的，“切开”的边数目一定小于总的边数。这个结果还可以提供的信息是我们就是用抛硬币的方式随便乱切，平均都有一半的边被切到，因此MAX−CUT(G)MAX-CUT(G)MAX−CUT(G)肯定是不小于一半的边数的。

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