题目链接

https://atcoder.jp/contests/agc029/tasks/agc029_e

题解

写了一半发现假了然后强行乱改一通改对了……
我们用“\(u\)子树内小于\(x\)的连通块”来表示\(u\)子树内到\(u\)路径上的点都小于\(x\)的点（包括\(u\)）的集合，集合的大小用\(C(u,x)\)表示。
考虑这个游走的过程，设点\(u\)到根的路径上分别是\(u=u_1,u_2,u_3,...,u_{k-1},u_k=1\), 则对于\(i\)来说干的事情是“把\(u_i\)子树内小于\(u_{i+1}\)的连通块都走一遍”。那么对于一个\(i\)来说若存在\(j>i\)且\(u_{j+1}>u_{i+1}\), 那么后者的作用会包含前者，前者无用。也就是说我们要考虑根到每个点路径上的前缀最大值（就是每个点到根路径上的后缀最大值）。
考虑递推，从父亲递推到儿子。设\(mx[u]\)表示\(u\)到根路径上的最大值，\(v\)是\(u\)的儿子，经过简单推导可得如下递推式:

ans[v] = ans[u];
if(u>mx[fa[u]]) {ans[v] += C(v,mx[u])-C(v,mx[fa[u]]);} //u是前缀最大值点
if(v>mx[u]) {ans[v] += 所有v的儿子v'的C(v',mx[u])之和+1;} //v是前缀最大值点

第三行是因为v>mx[u]所以v的子树不被包括在上一次的最大值点计算的贡献中，需要重新计算。
（我知道这样讲很不清楚……可是抱歉博主实在是不知道如何用文字把这个推导过程写清楚，并且这个实际上也挺简单的仔细推一推应该能推出来）
现在考虑如何对每个前缀最大值的\(u\)的每个儿子\(v\)求出\(C(v,mx[u])\)和\(C(v,mx[fa[u]])\). 看起来需要数据结构，但是我们发现所有这些值的总和是\(O(n)\)级别的，所以暴力枚举就可以了。
时间复杂度\(O(n)\).

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define llong long long
#define mkpr make_pair
#define riterator reverse_iterator
using namespace std;inline int read()
{int x = 0,f = 1; char ch = getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) {if(ch=='-') f = -1;}for(; isdigit(ch);ch=getchar()) {x = x*10+ch-48;}return x*f;
}const int N = 2e5;
struct Edge
{int nxt,v;
} e[(N<<1)+3];
int fe[N+3];
int fa[N+3];
int mx[N+3];
int f[N+3],g[N+3],h[N+3];
int ans[N+3];
int n,en;void addedge(int u,int v)
{en++; e[en].v = v;e[en].nxt = fe[u]; fe[u] = en;
}int dfs2(int u,int x)
{if(u>x) return 0;int ret = 1;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(v==fa[u]) continue;ret += dfs2(v,x);}return ret;
}void dfs1(int u)
{for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(v==fa[u]) continue;fa[v] = u;mx[v] = max(mx[u],v);dfs1(v);}if(u>mx[fa[u]]){h[u] = 1;for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(v==fa[u]) continue;f[v] = dfs2(v,u);g[v] = dfs2(v,mx[fa[u]]); h[u] += g[v];}}
}void dfs3(int u)
{for(int i=fe[u]; i; i=e[i].nxt){int v = e[i].v; if(v==fa[u]) continue;ans[v] = ans[u]; if(u>mx[fa[u]]) {ans[v] += f[v]-g[v];} if(mx[v]>mx[u]) {ans[v] += h[v];}dfs3(v);}
}int main()
{scanf("%d",&n);for(int i=1; i<n; i++){int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);addedge(u,v); addedge(v,u);}mx[1] = 1; f[1] = 1; dfs1(1);
//  printf("f: "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",f[i]); puts("");
//  printf("g: "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",g[i]); puts("");
//  printf("h: "); for(int i=1; i<=n; i++) printf("%d ",h[i]); puts("");dfs3(1);for(int i=2; i<=n; i++) printf("%d ",ans[i]); puts("");return 0;
}