CEM计算电磁学 -- Lecture 2 学习笔记 (1) ---TMM 传输矩阵法(1)
目录
- 一、电磁场中的一维结构
- 二、传递矩阵法
- 1、模型结构
- 2、4×4矩阵方法(需要sort)
- (1)前提内容
- (2)4×4矩阵方程式(用于求解电磁场方程)
- (3)LHI 情况下的解
- (4)计算传输矩阵T
- (5)稳定性问题
本文资料来源(配图):EMPossible_CEM
1、课件资料:https://empossible.net/academics/emp5337/
2、视频资料:
youtube:https://www.youtube.com/watch?v=JOgtCeUMIAc
bilibili:https://www.bilibili.com/video/BV1ck4y1m73u?p=2
一、电磁场中的一维结构
将三维结构降为一维结构:
二、传递矩阵法
1、模型结构
模型结构的建立是基于上一节的内容,也就是通过将三维结构降为一维结构来进行分析的,类似于切片的方法。如下图所示,假设有一束光打在由四层介质板构成的器件上。
将Layer1最靠前一侧的界面0(z=0处)的电磁场定义为E0和H0,将Layer1靠后一侧的界面1的电磁场定义为E1和H1。当发射电磁波时,对于这个器件而言,我们假设电磁波是从界面0出发,经过Layer1后,到达界面1的,因此若要建立起两个界面电磁场之间的关系,关键就在于对Layer1层的分析。
而传输矩阵(Transfer Matrix,通常称为T矩阵),就是我们用来构建起两个界面电磁场之间关系的一个矩阵,即E0和H0经过T矩阵的变换后变为了E1和H1,也由此我们可以认为:事实上,T矩阵是表征了Layer1自身的一些属性(如:电导率、磁导率等)对电磁波产生的影响。
基于此,我们可以用一个简单的公式来表示两个界面电磁场间的关系,即:[E1, H1]=T1 • [E0, H0],T为矩阵;同样地,对于界面2的电场E2和界面1的电场E1,我们也可以获得关系式:[E2, H2]=T2 • [E1, H1]=T2 • T1 • [E0, H0],即如上图所示。
按照以上的方法,对整个器件涉及到的界面关系均进行推导,我们即可以获得输入界面和输出界面之间的电磁场关系,如下图所示。对于该关系中所有涉及到的T矩阵的累乘,我们将之称为全局传输矩阵(Global Transfer Matrix)。
此时问题的关键,就变为了要如何推导出T矩阵? 这里,我们先给出结果(下图),再对过程进行分析。由下图可以看出,有两种方法可以获取最终的解,一种方法是需要 sort(分类)的,在这个方法过程中需要使用到4×4矩阵;另一个方法是不需要 sort 的,其使用到的是2×2矩阵。
2、4×4矩阵方法(需要sort)
(1)前提内容
在均匀介质中,假设电磁波的入射方向是 +z 方向,则:
同理,在均匀介质中,假设电磁波的入射方向是 k⃗\vec{k}k 方向,则:
对于器件模型而言,z轴通常表示了多层的结构,x,y方向则表示的是面。通常来说,对于z轴某一点所在面,其沿x和y方向延伸出去的部分都是均匀的,而沿z轴方向延伸出去的部分则是非均匀的(因为层与层的性质不同)。因此,我们可以对x和y方向的电场进行求导,如下图所示:
但由于沿z方向结构的非均匀性,故而其不能直接进行求导:
(2)4×4矩阵方程式(用于求解电磁场方程)
在 Lecture 1 学习笔记 (1) 中,通过对麦克斯韦方程组的变形和展开,得到了一组关于 E 和 H 在三个方向的等式,它们是通常用于计算电磁学中的麦克斯韦方程组,我们将之称为Starting Point for CEM,即:
需要注意的是:这些等式对应的是LHI的情况( [ε\varepsilonε]=ε\varepsilonε,[μ\muμ]=μ\muμ )
利用之前推导的公消去关于Ex、Ey和Hx、Hy的偏导,由于此时只剩下z变量,因此可将偏分改为微分:
将以上方程进行归一化处理,并对各自的第三个式子进行变形以得到Ez和Hz:
将Ez和Hz代入前两个式子,此处之所以要消去Ez和Hz,是因为我们将三维问题降为了一维,因此我们现在的处理对象是切片后的面,即x和y轴构成的面。然后再对式子进行化简,即可得到Exy和Hxy关于z‘变化的方程:
将之整理成矩阵形式(需要注意的是:这些等式对应的是LHI的情况( [ε\varepsilonε]=ε\varepsilonε,[μ\muμ]=μ\muμ )),即:
至次,我们获得了一个4×4的矩阵方程。
(3)LHI 情况下的解
将上式的表达形式进行简化:
此时,我们要做的就是求出Ψ\PsiΨ的解,即可获得该器件关于z′z'z′的电磁场方程。该方程是一个一阶微分方程,其解的形式为:
其中eΩz′e^{^{\Omega z'}}eΩz′为矩阵,因此可利用矩阵的性质来对其计算进行简化。
根据矩阵的运算性质,对于一个矩阵函数 f(A)f(A)f(A) 而言,A为矩阵,用V表示A的特征矢量矩阵,用D表示A的特征值矩阵,则f(A)=V⋅f(D)⋅V−1f(A)=V\cdot f(D) \cdot V^{^{-1}}f(A)=V⋅f(D)⋅V−1,其中f(D)f(D)f(D)为关于f(D1)f(D1)f(D1),f(D2)f(D2)f(D2)…的对角线矩阵。( Matlab中的语句就是:[V,D]=eig(A) )
因此,对于f(Ω)=eΩz′f(\Omega)=e^{^{\Omega z'}}f(Ω)=eΩz′来说,求出其特征矢量矩阵W,和特征值矩阵λ\lambdaλ,则可得:
将该式代入Ψ\PsiΨ的通解中,获得关于Ψ\PsiΨ的解,其中,用ccc来表示W−1Ψ(0)W^{^{-1}} \Psi(0)W−1Ψ(0),即:
至此,我们获得了电磁场关于z′z'z′的表达式。
(4)计算传输矩阵T
在获取到电场和磁场的表达式后,需要引入边界条件来对器件边界情况进行一个约束。
根据器件建立的模型(如下图所示),以Layer i 为例,其存在左右两个界面,因此有两个边界条件,再将Ψ(z′)\Psi(z')Ψ(z′)表达式代入,可以得到:
① Ψi−1(k0Li−1)=Ψi(0)\Psi_{i-1}(k_{0}L_{i-1})=\Psi_{i}(0)Ψi−1(k0Li−1)=Ψi(0) -------> Wi−1(eλik0Li−1)Ci−1=WiCiW_{i-1}(e^{\lambda_{i} k_{0} L_{i-1}}) C_{i-1}=W_{i}C_{i}Wi−1(eλik0Li−1)Ci−1=WiCi
① Ψi(k0Li)=Ψi+1(0)\Psi_{i}(k_{0}L_{i})=\Psi_{i+1}(0)Ψi(k0Li)=Ψi+1(0) -------> Wi(eλik0Li)Ci=Wi+1Ci+1W_{i}(e^{\lambda_{i} k_{0} L_{i}}) C_{i}=W_{i+1}C_{i+1}Wi(eλik0Li)Ci=Wi+1Ci+1
由于Ci+1=TiCiC_{i+1}=T_{i} C_{i}Ci+1=TiCi,因此可以得到变换矩阵TiT_{i}Ti:Ti=(Wi+1)−1Wi(eλik0Li)T_{i}=(W_{i+1})^{-1} W_{i} (e^{\lambda_{i} k_{0} L_{i}})Ti=(Wi+1)−1Wi(eλik0Li)
(5)稳定性问题
我们从麦克斯韦方程组开始,推导出了用来表征电磁场随z′z'z′变化情况的场方程等式;而后使用一阶微分方程通解公式和矩阵性质,求出了该场方程的表达式;随后,利用各层之间的边界条件对各界面进行约束,求解出了传输矩阵 T。虽然看起来已经求得了我们需要的结果,但事实上,我们通过该方法得出的结果是不稳定的,或者说这个模型是不稳定的。
在一开始,我们写平面波的电场和磁场方程的时候,我们将其入射方向设为的是k⃗\vec{k}k,但是k波矢通常是一个复数。对于前向传播(forward propagation)的电磁波来说,其可以展开为k+=k′+jk′′k^{+}=k'+jk''k+=k′+jk′′;对于反向传播(backward propagation)的电磁波来说,其可以展开为k−=k′+jk′′k^{-}=k'+jk''k−=k′+jk′′,其中k′k'k′表现为波的振荡,k′′k''k′′表现为波的衰减或增强,这两种波都会存在于实际的器件层中,如下图。
但是在我们的模型中,是默认所有波为前向传播的,因为我们的方程是:E⃗(r⃗)=E0⃗⋅ejk⃗r⃗\vec{E}(\vec{r} )=\vec{E_{0}} \cdot e^{j\vec{k}\vec{r}}E(r)=E0⋅ejkr(前向),而没有考虑到E⃗(r⃗)=E0⃗⋅e−jk⃗r⃗\vec{E}(\vec{r} )=\vec{E_{0}} \cdot e^{-j\vec{k}\vec{r}}E(r)=E0⋅e−jkr(反向)。所以,为了让反向波能够像前向波一样被处理,我们将k−k^{-}k−的表达式变为:k−=−k′−jk′′k^{-}=-k'-jk''k−=−k′−jk′′,如下图所示。如果我们假设原来的k′′k''k′′是衰减的,那么−k′′-k''−k′′在指数上则是成增长的态势,是非常不稳定的。
Sort!
因此,我们在稳定性这一步要做的就是分离出前向波和反向波。此处,要引入坡印廷矢量,当S>0时,为前向波,反之为后向波。
举个栗子,假设 εr=9.0\varepsilon_{r} = 9.0εr=9.0 且 μr=9.0\mu_{r} = 9.0μr=9.0,则:
将WWW各项代入坡印廷矢量的公式,可以求出WWW的第一列和第三列结果为正(前向波),第二和第四列结果为负(后向波),此时我们将为正的放在一起,为负的放在一起,需要注意的是变换位置后的λ\lambdaλ矩阵要重新调整为单位矩阵的形式,如下图所示:
那么,我们的WWW和λ\lambdaλ矩阵可以简化为以下形式:
最终Ψ\PsiΨ的解可以写为如下形式:
然后再用和之前相同的方式求解出传输矩阵T,那么此时我们获得的解才是稳定的。
以上就是使用4×4矩阵来求解T矩阵,该方法的关键在于最后要考虑一个稳定性的问题。如前所述,除了该方法,我们还可以使用2×2矩阵来求解,该部分内容将写在下一篇中。
如有错误,欢迎指正…
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