一、引言

(一)研究背景

本文所涉及的黄金是具有金融属性且被多方面因素影响的一种产品，黄金投资者、生产者的价值行为根植于其价格变化上。黄金价格的动态演变过程也反映了金融市场中经济行为主体的投资决策，黄金价格的动态演变过程也是一种数据生成的过程。

国内外学者对黄金价格趋势研究所使用的方法很多但具有一定的局限性，如供需法、美元法、成本法、回归模型法等。本文将利用时间序列相关理论对伦敦黄金交易市场的黄金价格建立ARMA-GARCH模型，并进行实证分析。

(二)框架结构

本文分以下五个部分:第一，介绍研究的背景;第二，阐述了所使用模型的相关理论;第三，数据，包括采集、处理;第四，对黄金交易市场定盘价格进行实证分析;第五，模型的总结评价。

二、时间序列模型的相关理论

ARIMA方法包括AR模型、MA模型和ARMA模型形式为:

GARCH模型是在ARCH模型的基础上引入滞后项的广义模型。即:

考虑Yt遵循以下ARIMA(p,d,q)-GARCH(s,r)过程，则:

三、数据采集与处理

本文数据源于FRED官网伦敦黄金交易市场下午定盘价格，按日采样。样本区间为2015年1月2日～2020年1月2日。所采集的数据中，缺失值的个数为52，占到总数据个数的3.98%，通过直接删除缺失值，最终数据为1253个。本文中训练集为2015年1月2日～2019年12月12日共1243条数据，其余10天数据为测试集。

四、实证分析建模

(一)时间序列的基本统计特征

1．时序图

通过R作出的时序图可以看出序列有微微向上的趋势，不太平稳。另统计描述下，样本数量为1243。最小值为1049.4，最大值为1546.1，均值为1204.65，中位数为1260.35;偏度为0.535;峰度为0.607;偏差为正值，上升的概率比较高;峰值较低说明数据有一定的平稳性，但是否平稳还需经过具体的检验。

2．白噪声检验

通过对时间序列进行白噪声检验可得检验p-value值远远小于0.05，在5%的显著性水平下，拒绝序列为白噪声的原假设。

(二)平稳性检验

1．平稳性检验

通过观察序列的ACF图、PACF图，可以看到不管是自相关系数的值还是偏自相关系数的值具有拖尾的性质。再根据序列ADF检验和PP检验。检验的结果可知，p-value值分别为0.3783、0.4154，在显著性为5%的水平下，数据没有通过单位根检验，需要对数据进行差分处理。

2．差分处理

通过对序列作一阶差分并对差分后数据做ADF检验，p-value值为0.01，在显著性为5%的水平下，通过了单位根检验，因此一阶差分后的数据平稳。

(三)建立ARIMA模型

1．模型定阶

对差分后的时间序列建立ARMA模型，利用AIC准则确定阶数。定阶得出的模型为ARMA(3,1)。

2．参数估计

通过OLS估计出的系数以及检验结果在显著性为5%的水平下，φ2，φ3不显著。其中φ2的p值最大，将其剔除，然后进行模型估计，得到以下结果模型估计为:Rt=-0.4717Rt-1+0.0616Rt-3+at+0.4894at-1

3．残差检验

对ARIMA(3,1,1)的残差做序列图我们发现残差序列有较强的波动性，初步推测序列具有异方差性。

(四)ARCH检验

对于上文提到的条件异方差性，我们利用McLeodLi.test进一步检验，检验结果表明残差序列滞后阶数从3～30时，残差自回归函数的系数显著，显示出序列存在条件异方差。因此，拒绝原假设，说明样本序列存在显著的ARCH效应，故接着对模型进行GARCH建模。

(五)建立GARCH模型

GARCH(1,1)模型是GARCH模型中最常用的一种，也是一种最适于金融时间序列建模的模型。通过拟合我们发现除了常数项外，参数都是非常显著的，因此，我们可以得到残差的GARCH(1,1)模型如下。

接着，对所拟合的ARIMA(3,1,1)-GARCH(1,1)模型做检验，给出图示法来确认残差的正态性和独立性。给出最终模型的标准化残差序列图，符合白噪声过程。结合残差的Q-Q图，可认为残差满足正态性的假定。

(六)建立ARIMA-GARCH模型

将对时间序列均值所建立的ARIMA(3,1,1)(其中ar2固定为0)，与对残差建立的GARCH(1,1)模型组合，取2015年1月2日至2019年12月12日的数据建立ARIMA(3,1,1)–GARCH(1,1)模型，对之后十天的数据进行预测并给出相对误差，如表1所示。

可以看到，经过训练的模型能够很好地预测黄金收盘价格，文中模型可应用于价格预测。

五、总结以及建议

本文主要利用时间序列的相关技术，对伦敦黄金交易市场的黄金定盘价进行差分得到的平稳时间序列，对其拟合ARIMA-GARCH模型。利用该模型可动态刻画黄金价格数据的变化过程，也可帮助黄金产品投资者和生产者做出更加灵活、科学的决策。

本文还有一些不足之处有改进空间，例如，在ARIMA(3,1,1)-GARCH(1,1)模型的分析与建模中，直接运用了统计学前辈的观点，认为低阶的GARCH模型基本可以解释高阶的GARCH模型，但是由于GARCH模型自身的复杂性，为减少不必要的误差，通常只运用GARCH(1,1)模型来说明问题。所以，本文在建立GARCH模型的时候也直接运用了GARCH(1,1)模型而没有逐步定阶。

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