题目

传送门 to CF

题目概要
一个博弈游戏，只有一个数字。两人轮流操作，每次可以将当前的数字 n 0 n_0 n0 减去它的因数 d ( d ≠ 1 ∧ d ≠ n 0 ) d\;(d\ne 1\wedge d\ne n_0) d(d=1∧d=n0)，不能操作者输。

问，最初数字是 n n n 时，先手是否有必胜策略。

数据范围与提示
共 1 0 4 10^4 104 组数据，每组数据 1 ≤ n ≤ 1 0 9 1\le n\le 10^9 1≤n≤109 。

思路

没有什么好的想法，干脆打了个表。震惊地发现，所有奇数都是先手必败！几乎所有偶数都是先手必胜！

为啥是几乎呢？因为我看到 n = 2 n=2 n=2 和 n = 8 n=8 n=8 是先手必败。于是我就这样交了一发，咋 W A \tt WA WA 了？

回来重新看了看表。啊咧咧！竟然 512 512 512 也是先手必败？再翻翻，怎么 32 32 32 也要出事儿？然后 128 128 128 也是反常情形？

好像 2 × 4 k 2\times 4^k 2×4k 都是先手必败诶！好，把这个结论补上去。 n n n 为奇数或者 n = 2 × 4 k n=2\times 4^k n=2×4k 先手必败，否则先手必胜。交一发，过了。

知道结论之后的证明，非常简单，归纳法即可，但是不容易直接想到。现在我们开始归纳法：

n n n 是奇数。若 n n n 为质数，直接输掉。否则，它的因子都是奇数，于是后继状态都是偶数。并且它的后继状态不是 2 k 2^k 2k，因为 n 0 − d n_0-d n0−d 仍然是 d d d 的倍数，而 d d d 是一个奇因子。所以后继状态都是先手必胜。得证。
n ≠ 2 k n\ne 2^k n=2k 但是 n n n 为偶数。显然 n n n 不是质数，并且至少有一个奇因子。那么 n n n 减去这个奇因子，就得到了一个先手必败的后继。得证。
n = 2 k n=2^k n=2k 。若 k k k 为偶数，即 n = 4 k / 2 n=4^{k/2} n=4k/2，那么其存在后继状态 n 0 = 2 k − 1 n_0=2^{k-1} n0=2k−1 是先手必败。若 k k k 为奇数，那么其后继 n 0 = 2 k − 1 n_0=2^{k-1} n0=2k−1 和其他偶数都是先手必胜。得证。

世上只有打表好！ O ( T log ⁡ n ) \mathcal O(T\log n) O(Tlogn) 没烦恼！

代码

#include <cstdio>
using namespace std;
inline int readint(){int a = 0; char c = getchar(), f = 1;for(; c<'0'||c>'9'; c=getchar())if(c == '-') f = -f;for(; '0'<=c&&c<='9'; c=getchar())a = (a<<3)+(a<<1)+(c^48);return a*f;
}int logtwo(int x){for(int i=0; true; ++i)if((1<<i) >= x)return i;return -1;
}
int main(){for(int T=readint(); T; --T){int n = readint();if((n&-n) == n && (logtwo(n)&1))puts("Bob");else if(n&1) puts("Bob");else puts("Alice");}return 0;
}

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