对角阵

对角矩阵 只有对角线上有非零元素的矩阵

数量矩阵 对角线上的元素相等的对角矩阵

单位矩阵 对角线上都为1的对角矩阵

(1)提取矩阵的对角线上的元素

diag(A) 提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。

diag(A,k) 提取第k条对角线上的元素 k=0是中间的那条对角线

(2)构造对角矩阵

diag(V) 产生一个主对角线为V的对角阵

diag(V,k) 向量v为第k条对角线

例子 先建立5阶矩阵A，然后将A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，……，第五行乘以5.

>> A=[4 5 6 7 8;9 5 3 1 6;4 6 2 3 6;5 3 5 4 6;5 6 4 6 4]

A =

4 5 6 7 8

9 5 3 1 6

4 6 2 3 6

5 3 5 4 6

5 6 4 6 4

>> D=diag(1:5)

D =

1 0 0 0 0

0 2 0 0 0

0 0 3 0 0

0 0 0 4 0

0 0 0 0 5

>> F=D*A

F =

4 5 6 7 8

18 10 6 2 12

12 18 6 9 18

20 12 20 16 24

25 30 20 30 20

三角阵

上三角阵 矩阵的对角线一下的元素全为零的矩阵

(1)ttiu(A) triu(A,k)

下三角阵 …………………上………………………

(2)tril(A) tril(A,k)

矩阵的转置

转置运算符号是小数点后面接单引号(.’)。

共轭转置，其运算符号是单引号(‘)，它在转置的基础上还要取每个数的复共轭

>> A=[2,2+3i;4,2+5i]

A =

2.0000 + 0.0000i 2.0000 + 3.0000i

4.0000 + 0.0000i 2.0000 + 5.0000i

>> A.'

ans =

2.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i

2.0000 + 3.0000i 2.0000 + 5.0000i

>> A'

ans =

2.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i

2.0000 - 3.0000i 2.0000 - 5.0000i

矩阵的旋转

rot90(A,k) 将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略。

A =

2.0000 + 0.0000i 2.0000 + 3.0000i

4.0000 + 0.0000i 2.0000 + 5.0000i

>> rot90(A)

ans =

2.0000 + 3.0000i 2.0000 + 5.0000i

2.0000 + 0.0000i 4.0000 + 0.0000i

矩阵的翻转

fliplr(A) 对矩阵A实施左右翻转 lr代表左右

flipud(A) 上下翻转 ud代表上下

验证魔方阵的主对角线，副对角线元素之和相等

>> A=magic(5)

A =

17 24 1 8 15

23 5 7 14 16

4 6 13 20 22

10 12 19 21 3

11 18 25 2 9

>> D=diag(A)

D =

17

5

13

21

9

>> sum(D)

ans =

65

>> rot90(A)

ans =

15 16 22 3 9

8 14 20 21 2

1 7 13 19 25

24 5 6 12 18

17 23 4 10 11

>> sum(diag(A))

ans =

65

矩阵的求逆

对于一个矩阵A，如果存在一个与其同阶的方针B，使得AB=BA+I(I为单位矩阵)，则称B为A的逆矩阵，当然，A也是B的逆矩阵

inv(A) 求A的逆矩阵

例3 用逆矩阵的方法求线性方程组的解

x+2y+3z=5

x+4y+9z=-2

x+8y+27z=6

在线性方程组A-1Ax=A-1b，由于A-1A=1，故得x=A-1b

A=[1 2 3;1 4 9;1 8 27]

b=[5;-2;6]

x=inv(A)*b