机器人动力学参数辨识

本文为《串联机器人高性能运动控制方法研究_陈超》一文的笔记

一、辨识目的

（1）解决机器人非线性效应，提高运动控制性能；

（2）在普常用机器人PID控制中作为前馈控制降低系统误差；

二、主要分类

相比较而言，离线辨识中最小二乘法使用最广泛。

三、动力学模型

n连杆刚性机器人的动力学模型：

$M\left ( q \right ) \ddot{q} + C(q,\dot{q}) \dot{q} + G(q) + F_{f}\left ( \dot{q} \right ) = \tau + \tau_{d}$

其中，

$q = \begin{bmatrix} q_1 & q_2 & \cdots & q_{n} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n}$ 为关节位置， $\dot{q},\ddot{q} \in \mathbb{R}^{n}$ 为关节速度和加速度； $M(q) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是对称正定惯量矩阵； $C(q,\dot{q})\dot{q} \in \mathbb{R}^{n}$ 表示离心力和科氏力； $G\left ( q \right ) \in \mathbb{R}^{n}$ 表示重力； $F_{f}\left ( \dot{q} \right ) \in \mathbb{R}^{n}$ 表示摩擦力； $\tau \in \mathbb{R}^{n}$ 表示关节输出力矩； $\tau_{d} \in \mathbb{R}^{n}$ 表示其它未建模的扰动。

在辨识过程中关节转速要尽可能高。因此摩擦模型为：

$F_{f}\left ( \dot{q} \right ) = f_{v} \dot{q} + f_{c} sgn(\dot{q})$

其中， $f_{v}$ 表示粘滞摩擦系数； $f_{c}$ 表示库伦摩擦系数； $sgn\left ( \cdot \right )$ 表示符号函数。

不难发现，机器人动力学平衡方程其参数具有很强的耦合特性以及非线性，很难直接获得动力学参数辨识结果。

其动力学平衡方程的等效线性方程为：

$\tau =Y_{s}\left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right ) X_{s}$

其中，

$Y_{s}\left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right ) \in \mathbb{R}^{n \times N_{s}}$ 为回归矩阵， $X_{s} \in \mathbb{R}^{N_{s} \times 1}$ 为动力学基本参数集。

对于一个连杆 $i$ 而言，基本参数集有以下13个参数：

$X_{s} = col \left \{ \begin{matrix} m_{i} & I_{ixx} & I_{ixy} & I_{ixz} & I_{iyy} & I_{iyz} & I_{izz} & m_i p_{ix} & m_i p_{iy} & m_{i}p_{iz} & f_{iv} & f_{ic} & I_{im} \end{matrix} \right \}$

其中， $m_{i}$ 表示连杆i的质量； $\left ( I_{ixx}, I_{ixy}, I_{ixz}, I_{iyy}, I_{iyz}, I_{izz} \right )$ 为连杆i在关节坐标系i原点处的惯性张量矩阵参数； $\left ( p_{ix}, p_{iy}, p_{iz} \right )$ 为连杆i的质心在关节坐标系i中的位置； $f_{iv},f_{ic}$ 为连杆i的粘滞摩擦系数和库伦摩擦系数， $I_{im}$ 表示关机i处等价的电机惯量。

由于某些动力学参数不影响机器人动力学模型，所以一般回归矩阵 $Y_{s}\left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right )$ 不满秩。提取其起作用部分，回归方程可以重写为：

$\tau =Y\left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right ) X$

其中，

$Y \left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right ) \in \mathbb{R}^{n \times N_{b}}$ 由 $Y_{s}\left ( q,\dot{q},\ddot{q} \right )$ 中线性无关项组成， $X \in \mathbb{R}^{N_{b} \times 1}$ 为动力学最小参数集。

四、辨识实验流程

4.1 激励信号选取

由于傅里叶级数具有周期性，机器人可以利用多次采样求平均值提高信号的信噪比，得到比较理想的数据。

预设机器人信息采集频率为 $f_s$ （25Hz），轨迹运行频率为 $f_f$ （0.1Hz），其在一个轨迹周期内可以采到 $M = f_s /f_{f}$ 个参数，其 $M$ 应当设置尽可能大。

有限项傅里叶级数激励轨迹为：
$q_i (t) = \sum_{l=1}^{N} \left [ \frac{a_{il}}{\omega_{f} l} sin(\omega_{f} lt) - \frac{b_{il}}{\omega_{f}l}cos(\omega_{f}lt) \right ] + q_{i0}$

$\dot{q}_i (t) = \sum_{l=1}^{N} \left [a_{il} cos (\omega_{f} lt) + b_{il} sin (\omega_{f}lt) \right ]$

$\ddot{q}_i (t) =\omega_{f} \sum_{l=1}^{N} \left [-a_{il} sin (\omega_{f} lt) + b_{il} cos (\omega_{f}lt) \right ]$

其中，基础频率 $\omega_{f}=2 \pi f_f$ ，并且所有关节的基础频率都相同； $N$ 表示谐波的个数； $a_{il}$ 和 $b_{il}$ 表示幅值； $q_{i0}$ 为常数项。

4.2 激励轨迹优化

矩阵条件数（矩阵特征值最大除以特征值最小）越小，辨识结果越不容易收到测量噪声的干扰。利用条件数最小作为优化准则，求取轨迹中 $a_{il}$ ， $b_{il}$ 以及 $q_{i0}$ 的值。

利用Matlab中的fmincon（）函数。

其优化模型为：

$min.cond(\psi )$

$\left\{\begin{matrix} \left | q_i (t) \right | \leq q_{i,max}\\ \left | \dot{q}_i (t) \right | \leq \dot{q}_{i,max}\\ \left | \ddot{q}_i (t) \right | \leq \ddot{q}_{i,max}\\ \dot{q}_{i}\left ( t_0 \right ) = \dot{q}_{i}\left ( t_f \right ) = 0\\ \ddot{q}_{i}\left ( t_0 \right ) = \ddot{q}_{i}\left ( t_f \right ) = 0 \end{matrix}\right.$

其非线性约束转为：

$\left | q_i(t) \right |\leq \sum _{l=1}^{N} \frac{1}{\omega_{f} l} \sqrt{a_{il}^{2} + b_{il}^{2}} + \left | q_{i0} \right | \leq q_{i,max}$ ；

$\left | \dot{q}_i(t) \right |\leq \sum _{l=1}^{N} \sqrt{a_{il}^{2} + b_{il}^{2}} \leq \dot{q}_{i,max}$ ;

$\left | \ddot{q}_i(t) \right |\leq \omega_{f} \sum _{l=1}^{N} \sqrt{a_{il}^{2} + b_{il}^{2}} \leq \ddot{q}_{i,max}$ ；

$q_i(t_0) = q_i(t_f) = -\sum_{l=1}^{N} \frac{b_{il}}{\omega_{f}l}+q_{i0} = 0$ ；

$\dot{q}_i(t_0) =\dot{ q}_i(t_f) = \sum_{l=1}^{N} a_{il} = 0$ ；

$\ddot{q}_i(t_0) =\ddot{ q}_i(t_f) = \sum_{l=1}^{N} \omega_{f} l b_{il} = 0$ ；

4.3 数据预处理

目的是为了克服最小二乘法对测量噪声的敏感。

a) 对多次采样的所有传感器数据求平均；

b) 位置信号：Butterworth低通滤波器和零相位数字滤波器滤除噪声；

c) 速度信号：中心差分法；

d) 加速度信号：中心差分法；

e) 力矩信号：Matlab的smooth平滑滤波；

4.5 最小二乘参数估计

对于超定方程采用：

$X^{*}= \left ( Y^{T} Y \right )^{-1} Y^{T} \tau$

4.4 辨识总流程

4.5 机器人硬件

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